Dass \(g(x) = 4\) die Bedingungen \(g(0) = 4\) und weder Nullstellen noch Definitionslücken erfüllt, ist nicht schwer zu sehen, sobald man verstanden hat, was eine Funktion ist (Unterstufe), was eine Nullstelle ist (ebenfalls Unterstufe) und was der Definitionsbereich ist (Einführungsphase Oberstufe, zumindest in NRW). Die Aufgabe stammt aber wohl nicht aus NRW, weil hier gebrochenrationale Funktionen nicht behandelt werden.
Dass die Funktion \(k_1(x) = \frac{1}{(x-4)\cdot(x-5)^2}\) die Gerade x=4 als senkrechte Asymptote hat und bei x=5 einen Pol ohne Vorzeichenwechsel hat, sollte in dieser Woche beigebracht worden sein (wie erkennt und kategorisiert man Polstellen). Der Summand \( - \frac{1}{(0-4)\cdot(0-5)^2} + 1\) verschiebt den Graphen vertikal so, dass k(0) = 1 ist. Das wird in NRW in der Einführungsphase im Rahmen von Transformationen beigebracht. Außerdem muss man natürlich wissen, dass man \(k(x)\) in die Form \(\frac{p(x)}{q(x)}\), die von einer gebrochenrationalen Funktion erwartet wird, umgeformt werden kann. Das geht mit Bruchrechnung, da sind die Kinder aber aufgrund von Taschenrechnern ungeübt.
Natürlich sind die Aufgaben nicht ganz einfach, weil Wissen aus unterschiedlichen Jahrgangsstufen miteinander verknüpft werden muss. Außerdem ist es für Schüler immer eine Herausforderung, wenn es keinen fest eingeübten Lösungsweg gibt.
