Zeigen Sie, dass die Reihe Σ _{n ≥ 1} f(\frac{1}{n}) absolut konvergiert.

Question

Hänge nun schon seit Stunden an der Aufgabe und so langsam verliere ich die Geduld. Habe schon mit der Aufgabe abgeschlossen. Bitte um Hilfe. Danke.

Es sei \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f(0)=0 \) und es existiere ein \( c>0 \) und ein \( \alpha>0 \) mit \( \left|f^{\prime}(x)\right| \leq c|x|^{\alpha} \) für alle \( x \in[-1,1] \). Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{n \geq 1} f\left(\frac{1}{n}\right) \) absolut konvergiert.

Comments

Benutze den Mittelwertsatz, um eine Abschätzung für f(x)=f(x)-f(0) zu erhalten.

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Können Sie @Mathhilf die Aufgabe ausführlich rechnen und zeigen? Hänge nämlich auch schon seit einigen stunden.

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Naja, den Mittelwertsatz könntest Du doch mal hier aufschreiben, und damit \(|f(x)|=|f(x)-f(0)|\) abschätzen, dann sehen wir weiter.