Zeige : Für absolut konvergente Reihen ∑a_{n} konvergiert die Reihe ∑a_{n}^2 ebenfalls absolut?

Question 1

Zeige : Für absolut konvergente Reihen ∑an konvergiert die Reihe ∑an² ebenfalls absolut?

Question 2

Da $\sum \limits_{n}|a_n|<\infty$, muss $|a_n|\to 0$, d.h. es gibt ein $N\in \mathbb{N}$, so dass für alle $n>N$ gilt, dass $|a_n|<1$. Multipliziere diese Ungleichung mit $|a_n|>0$, dann hast du $|a_n|^2=a_n^2<|a_n|$:$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n^2=\sum_{n=1}^{N-1}{a_n^2}+\sum_{n=N}^{\infty}{a_n^2}\leq \sum_{n=1}^{N-1}{a_n^2}+\sum_{n=N}^{\infty}{|a_n|}<\infty$$

racine_carrée · Answer 1 · 2020-07-31T16:45:05+0000

Da $\sum \limits_{n}|a_n|<\infty$, muss $|a_n|\to 0$, d.h. es gibt ein $N\in \mathbb{N}$, so dass für alle $n>N$ gilt, dass $|a_n|<1$. Multipliziere diese Ungleichung mit $|a_n|>0$, dann hast du $|a_n|^2=a_n^2<|a_n|$:$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n^2=\sum_{n=1}^{N-1}{a_n^2}+\sum_{n=N}^{\infty}{a_n^2}\leq \sum_{n=1}^{N-1}{a_n^2}+\sum_{n=N}^{\infty}{|a_n|}<\infty$$

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