Weil die Folge \((a_n)\) beschränkt ist, existiert \(A:=\limsup a_n\). Wir benutzen die Charakterisierung für limsup: Für jedes postive e liegen nur endlich viele Folgenglieder oberhalb von A+e und unendlich viele oberhalb von A-e.
Da die Reihe über die \((b_n)\) konvergiert, gilt:
$$r_n:=\sum_{i=n}^{\infty}b_i \downarrow 0$$
Wir nutzen die angegebene Abschätzung in folgender Weise:
$$\forall n,m \in \N: \quad a_{n+m}-a_n=\sum_{i=0}^{m-1}(a_{n+i+1}-a_{n+i})\geq -\sum_{i=0}^{m-1}b_{n+i}\geq -r_n$$
Damit konnen wir jetz zeigen, dass \(a_n \to A\). Sei \(e>0\). Dann wählen wir
$$m_1 \in \N: \quad \forall n>m_1: \quad a_n<A+e$$
$$m \in \N:\quad r_m < 0.5e$$
$$m_2 \in \N: \quad m_2>m \text{ und }a_{m_2}>A-0.5e$$
Dann gilt für \(n >\max \{m_1,m_2\}\):
$$A-e<a_{m_2}-r_{m_2}\leq a_n <A+e$$
