ist die Folge a_n beschränkt, und die Reihe \sumn=1\infty b_n konvergiert.

Question

Seien $(a_n), (b_n)$ zwei Folgen von positiven reellen Zahlen.Dabei ist die Folge $a_n$ beschränkt, und die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konvergiert.Weiterhin gelte für alle $n$ die Ungleichung $a_{n+1} \geq a_n - b_n.$ Zeigen Sie,dass die Folge $a_n$ konvergiert.

Answer 1

Weil die Folge $(a_n)$ beschränkt ist, existiert $A:=\limsup a_n$. Wir benutzen die Charakterisierung für limsup: Für jedes postive e liegen nur endlich viele Folgenglieder oberhalb von A+e und unendlich viele oberhalb von A-e.

Da die Reihe über die $(b_n)$ konvergiert, gilt:

$$r_n:=\sum_{i=n}^{\infty}b_i \downarrow 0$$

Wir nutzen die angegebene Abschätzung in folgender Weise:

$$\forall n,m \in \N: \quad a_{n+m}-a_n=\sum_{i=0}^{m-1}(a_{n+i+1}-a_{n+i})\geq -\sum_{i=0}^{m-1}b_{n+i}\geq -r_n$$

Damit konnen wir jetz zeigen, dass $a_n \to A$. Sei $e>0$. Dann wählen wir

$$m_1 \in \N: \quad \forall n>m_1: \quad a_n<A+e$$

$$m \in \N:\quad r_m < 0.5e$$

$$m_2 \in \N: \quad m_2>m \text{ und }a_{m_2}>A-0.5e$$

Dann gilt für $n >\max \{m_1,m_2\}$:

$$A-e<a_{m_2}-r_{m_2}\leq a_n <A+e$$