Gruppenaxiome Aufgabe (Analysis Universität)

Question

Sei A[a,b] die Menge aller auf dem Intervall [a,b] definierten reellwertigen Funktionen, d.h. A[a,b] = {f: f: [a,b] → ℝ}. Auf A[a,b] werde wie folgt eine Addition und eine Multiplikation definiert: Seien f,g ∈ A[a,b]. Dann gilt für alle x ∈ [a,b]:

(f+g)(x):=f(x)+g(x)

(f*g)(x):=f(x)*g(x).

a) Zeigen Sie, dass (A[a,b],+) eine abelsche Gruppe ist.

b) Ist (A[a,b],*) eine abelsche Gruppe? Was ist das neutrale Element 1_A bezüglich der Multiplikation „*“?

c) Bestimmen Sie zwei Elemente f,g ∈ A[a,b] mit f ≠ 0_A, g ≠ 0_A und f*g=0_A

Problem/Ansatz:

Zum einen wäre es hilfreich, wenn jemand sich das was ich bisher habe durchliest und mir sagt, ob das so stimmt.

Zum anderen habe ich mit dem zweiten Aufgabenteil der b) und mit dem Aufgabenteil c) Schwierigkeiten.

Das neutrale Element der Multiplikation ist doch immer die 1. Deshalb verstehe ich die Frage bei der b) nicht, was ich dort hinschreiben soll.

Bei der c) weiß ich nicht wie ich da zwei Elemente finden soll, die multipliziert miteinander null ergeben sollen, selbst aber nicht null sein können.

Ich hoffe mir kann jemand helfen und/oder sieht, wo mein Problem beim Verständnis liegt.

Vielen Dank im Voraus!

Lg Wunschname1

Answer 1

Hallo

 neutrales Element  und inverses Element macht man nicht mit f+g bzw. f*g sondern nur mit f oder g.

du kannst nicht einfach 1 schreiben, denn es geht ja um Funktionen , also musst du eine Funktion f1 definieren f1(x)=1 für alle x in [a,b] entsprechend f0=0

damit ist dann b) schon beantwortet.

c) die Funktionen musst du wohl stückweise definieren, es steht ja nirgends, dass sie stetig sein sollen. also etwa f(x)=x für x<(a+b)/2, f(x)=0 für x>=(a+b)/2 g(x)=0 für x<(a+b)/2 g(x)=x^2 für x>=(a+b)/2 da gibt es viel Möglichkeiten, nur g muss da 0 sein, wo f nicht 0 ist.

Gruß lul