Menge G := {(x, y) ∈ C (x, y) 3 = (1, 0)}

Question

Gegeben sei die Menge G := {(x, y) ∈ C | (x, y)^3 = (1, 0)}, wobei
(x, y)^3 = (x, y) · (x, y) · (x, y)
und · die Multiplikation komplexer Zahlen.

1).Zeigen Sie:

a). Für alle ( x, y),(x', y') ∈ G gilt (x, y) · (x', y') ∈ G.

b). Mit der Multiplikation ·: G × G → G aus a).  wird (G, ·) zu einer abelschen Gruppe mit neutralem Element (1, 0).

2). Geben Sie die Elemente von G explizit an, indem Sie alle Lösungen der Gleichung (x, y)^3 = (1, 0) in C berechnen.

Answer 1

Zeigen Sie:

a). Für alle ( x, y),(x', y') ∈ G gilt (x, y) · (x', y') ∈ G.

Dazu musst du nur überlegen, dass  ( (x, y) · (x', y')  ^3 = (1;0)

Das gelingt leicht, wenn du die Assoziativität und Kommutativität der

Multiplikation in C verwendest.

 b). Mit der Multiplikation ·: G × G → G aus a).  wird (G, ·) zu einer abelschen Gruppe mit neutralem Element (1, 0).

Abgeschlossenheit ist in a) gezeigt,  Assoziativität und Kommutativitätgilt für die Multiplikation in C auch und neutrales Element ist (1,0)  wie für ganz C.

Bleibt zu prüfen, ob jedes (x,y) ∈ G ein Inverses in G hat.

Das Inverse von (x,y) ist (x, y) · (x, y) wegen der Def. von G.