stetige Funktion auf [1, unendlich) zeigen

Question

Aufgabe: Wir betrachten die Funktionen

f_n: [1,∞) → ℝ,      f_n(x):=  \( \frac{nx^{2}}{e^nx+x} \) ,     n ∈ ℕ.

Zeigen Sie, dass durch f(x):= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{f_n(x)} \) eine auf ganz [1,∞) stetige Funktion definiert wird.

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich mir bei der Aufgabe nicht zu helfen. Könnte mir jemand einen Lösungsansatz vorschlagen?

Comments

Ich schlage Dir das Weierstraß'sche Majorantenkriterium als Lösung sansatz vor

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Leider stehe ich bei diesem Thema echt auf dem Schlauch.

Kannst du mir vielleicht einen Ratschlag geben?

LG Baumknlich

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Naja, habt Ihr das besprochen oder nicht?

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Besprochen ja, aber verstanden habe ich davon leider nicht wirklich viel.  :(

Wie kann ich denn anhand einer stetigen Majorante zeigen, dass meine Funktion auch stetig ist?

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Okay, ich hab mir jetzt ein paar Videos dazu angeguckt und die Thematik weitesgehend verstanden. Allerdings finde ich keine passende Majorante zu der Aufgabe. In der Vorlesung hatten wir cos(nx)/n². Da ist die Majorante ziemlich trivial. Hier ist es leider nicht so leicht...

Answer 1

Nach dem Weierstraß-Kriterium benötigen wir eine Abschätzung

$$|f_n(x)|=\frac{nx^2}{\exp(nx)+x} \leq a_n$$

durch reelle Zahlen $a_n$, so dass die Reihe über die $a_n$ konvergiert. DAnn folgt, dass die Funktionenreihe aus stetigen Summanden gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, die dann auch stetig ist.

Der entscheidende Punkt ist, das schnelle Wachstum der exp-Funktion zu nutzen. Konkret reicht folgende Abschätzung für $x \geq 1$ aus der Reihendarstellung der exp-Funktion

$$\exp(nx)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}(nx)^i \geq \frac{1}{6}(nx)^3$$

Damit

$$|f_n(x)|=\frac{nx^2}{\exp(nx)+x} \leq \frac{nx^2}{\frac{1}{6}(nx)^3}=\frac{1}{x}\frac{6}{n^2} \leq \frac{6}{n^2}=:a_n$$

Comments

Hi Mathhilf,

danke für die schnelle Antwort.

Mir ist leider noch nicht so ganz klar, wie du auf die Folgerung $\frac{1}{x}$ \( \frac{6}{n²} \) = \( \frac{6}{n²} \) kommst. Das gilt ja nur für x = 1 oder bin ich da gerade auf dem Holzweg?

Grüße Baumknilch11

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Es hätte "kleiner gleich " heißen müssen  korrigiere ich. Danke