Einzige stetige Funktion von Gleichung mit Integral

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Die einzige stetige Funtkion f:ℝ →ℝ, welche die Gleichung

f(x) = 1 + \( \int\limits_{0}^{x} \)  f(t)dt    (x ∈ ℝ)

erfüllt, ist f(x) = \( e^{x} \).

Problem/Ansatz: Wie zeigt man das?

Answer 1

Da \(f\) stetig ist, ist \(\int_0^x f(t)\; dt\) stetig differenzierbar. Damit ist auch \(f\) differenzierbar:
\(f(x) = 1+ \int_0^x f(t)\; dt \Rightarrow f'(x) = f(x)\).

Nun gibt es einen hübschen Trick: Betrachte$$g(x) = f(x)e^{-x}$$$$\Rightarrow g'(x) = f'(x)e^{-x}- f(x)e^{-x}=(f'(x)-f(x))e^{-x} = 0$$$$\Rightarrow g(x) = C \Rightarrow f(x) =Ce^{x}$$$$f(0) = 1\Rightarrow C= 1 \Rightarrow \boxed{f(x)= e^{x}}$$

Answer 2

f(x) = 1 + \( \int\limits_{0}^{x} \)  f(t)dt    (x ∈ ℝ)

==>  f(0) = 1 + \( \int\limits_{0}^{0} \)  f(t)dt =  1

Wenn f stetig ist, besitzt f eine Stammfunktion F, also eine

mit F'(x)=f(x) . Dann folgt

f(x) = 1 + \( \int\limits_{0}^{x} \)  f(t)dt = 1 + F(x) - F(0) 

und wegen F(0)=1 also f(x)=F(x) und mit F'(x)=f(x)

folgt F(x)=F'(x) und das erfüllt nur F(x)=e^x

Also gilt f(x) = 1 + \( \int\limits_{0}^{x} \)  f(t)dt=1+e^x - e^0 = e^x.

Comments

Hallo mathef,

ich habe verstanden, wie man auf 1 + F(x) - F(0) kommt, jedoch hakt es bei der Herleitung, wieso F(0) = 1 ist. Wie man darauf kommt ist mir noch ein Rätsel.

Liebe Grüße

DerGeneral420

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Das Integral von 0 bis 0 ist doch 0,

also gilt f(0) = 1 + \( \int\limits_{0}^{0} \)  f(t)dt =  1+0 = 1

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Hi mathef,

ich verstehe, wieso f(0) = 1 ist (wegen dem Integral von 0 bis 0), aber wie folgere ich daraus, dass F(0) auch 1 ist?

LG

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Oha, da habe ich wohl f und F verwechselt.

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Oder jetzt vergessen, dass du seinerzeit F = F' = f benutzt hast.

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Zu dem Zeitpunkt folgert er aus F(0), dass F = F' = f ist.

Der Schritt zu F(0) fehlt ja

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@mathef okay, dann verstehe ich das jetzt, danke :D