Konvergenzradius von Potenzreihe mit 2 Summen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \( R>0 \). Bestimmen Sie für \( n \in \mathbb{N}: \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}}{x^{n+1}} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß eigentlich, wie man einen Konvergenzradius bestimmt, aber ich finde die Form des Bruchs echt schwierig und weiß nicht, wie ich damit umgehen soll... :(

Answer 1

Die Summe im Zähler stimmt ja im Konvergenzradius fast mit f(x) überein. Für die maximale Größe der verbleibenden Differenz gibt es eine Restgliedabschätziung.

Comments

Wie mache ich in dem Zusammenhang die Restgliedabschätzung?
Ich hab echt keine Ahnung, tut mir leid :(

Answer 2

Falls ihr schon Potenzreihen differenzieren und L'Hospital benutzen dürft:

(n+1)-mal L'Hospital ergibt

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x) - \sum_{k=0}^na_kx^k}{x^{n+1}} = \lim_{x\to 0}\frac{f^{(n+1)}(x) - 0}{(n+1)!}$$$$ = \frac{(n+1)!a_{n+1}}{(n+1)!}=a_{n+1}$$

Comments

Hey trancelocation,

vielen Dank für die Hilfe :)

wir dürfen L'Hospital verwenden und haben schon Potenzreihen differenziert. Leider macht mir das Differenzieren von Potenzreihen echt Probleme... wie ich den Nenner (n+1)-mal ableite, habe ich jetzt verstanden. Der Zähler ist mir leider noch ein Rätsel...

Auch der Weg zum errechneten Grenzwert ist mir unklar.

Könntest du mir vielleicht dort auf die Sprünge helfen?

Mit freundlichen Grüßen
Baumknilch11