Konvergenzradius von Potenzreihe mit Quotientenregel bestimmen.

Question

Aufgabe:
Der Konvergenzradius R der Potenzreihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{cos(4)^k}{7-\frac{7}{k^2}}}*z^k \) soll mit Hilfe der Quotientenregel bestimmt werden.

Vereinfachen Sie Ihre Eingaben sinnvoll, und denken Sie auch daran, Produkte mit * zu schreiben.

Geben Sie die Formel des Grenzwerts an, den Sie dafür bestimmen müssen:
\(\frac{1}{R}=\lim\limits_{k\to\infty}\) []

Bestimmen Sie nun den Konvergenzradius.
\(R=\) []


Problem:
Ich kenne und verstehe zwar die Quotientenregel, habe aber Probleme beim Vereinfachen, da alle meine vereinfachten Terme die ich in die Grenzwertformel einsetzen möchte anscheinend falsch sind. Daraus folgend scheint mein Ergebnis für den Konvergenzradius auch falsch zu sein.
Ich habe schon versucht viele online Tools zu nutzen, allerdings scheinen deren Ergebnisse auch alle falsch zu sein und viele von den Tools sagen auch, dass die Berechnung zu komplex sei.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{\cos^k(4)}{7-\frac{7}{k^2}}}{\frac{\cos^{k+1}(4)}{7-\frac{7}{(k+1)^2}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\cos^k(4)}{7-\frac{7}{k^2}}\cdot\frac{7-\frac{7}{(k+1)^2}}{\cos^{k+1}(4)}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\cos^k(4)}{\cos^{k+1}(4)}\cdot\frac{7-\frac{7}{(k+1)^2}}{7-\frac{7}{k^2}}\right|=\frac{1}{|\cos(4)|}\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{7-\frac{7}{(k+1)^2}}{7-\frac{7}{k^2}}\right|$$$$\phantom r=\frac{1}{|\cos(4)|}\cdot\frac{7-0}{7-0}=\frac{1}{|\cos(4)|}$$

Answer 2

Welches Problem hast Du denn konkret? Anstelle online-tools ist hier die Wiederholung der Bruchrechnung angesagt. Doppelbrüche beseitigt man, indem man schrittweise mit den Nennern erweitert, bis kein Doppelbruch mehr da steht. Danach Standardgrenzwertsatz für Quotienten von Polynomen anwenden. Ergebnis: \(\rho =\frac1{|\cos 4|}\).