Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von

Question

Text erkannt:

Sei \( \vec{x}^{t}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \) der Variablenvektor. \( A \) eine \( n \times n \)-Matrix und \( \vec{a}^{t}= \) \( \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \) ein Vektor. Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von
(a) \( \quad F(\vec{x})=A \cdot \vec{x} \)
(b)
\( G(\vec{x})=4 \vec{x}-3 \vec{a} \)
(c)
\( H(\vec{x})=a^{t} \cdot \vec{x} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

… Kann mir jemand mit b) und c) helfen?

Answer 1

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix enthält die Gradienten der Vektorkomponenten als Zeilenvektoren:$$\vec G(x)=4\vec x-3\vec a=\begin{pmatrix}4x_1-3a_1\\4x_2-3a_2\\\vdots\\4x_n-3a_n\end{pmatrix}\eqqcolon\begin{pmatrix}g_1(\vec x)\\g_2(\vec x)\\\vdots\\g_n(\vec x)\end{pmatrix}\quad\implies$$$$J_{\vec G}(\vec x)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}g_1(\vec x)\\\operatorname{grad}g_2(\vec x)\\\vdots\\\operatorname{grad}g_n(\vec x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0 & \cdots & 0\\0 & 4 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & \cdots & 4\end{pmatrix}=4\cdot\mathbf 1_{n\times n}$$

$$H(\vec x)=\vec a^t\cdot\vec x=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n\quad\implies$$$$J_H(\vec x)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}H(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{pmatrix}=\vec a^t$$