Aufgabe:
Vektorfertige Funktion, Jacobi Matrix:
Ein Rotationstorus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius R den festen Abstand \(r\) haben, wobei \(0 < r < R\) ist. In kartesischen Koordinaten x, y, z mit der z-Achse als Rotationsachse und den Mittelpunkten des rotierenden Kreises in der xy-Ebene wird er durch die Gleichung \((\sqrt{x^2 + y^2} -R)^2 + z^2 = r^2\)
beschrieben.
Torus kann wie folgt parametrisiert werden:
\(\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow [0, r] \times [0, 2\pi]\times [0, 2\pi] \subset \mathbb{R}^3\)
\(\Phi(s, \psi, \varphi) = \begin{pmatrix}(R + s \sin \psi)\cos \varphi \\(R + s \sin \psi) \sin \varphi \\s \cos \psi\end{pmatrix}, \quad 0 \leq s \leq r, \; 0 \leq \psi \leq 2\pi, \; 0 \leq \varphi \leq 2\pi. \)
i) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix für
ii) Berechnen Sie die Determinante der Jacobi-Matrix (Funktionaldeterminante)
Ich habe öfters Probleme Texte zu verstehen und daher bin ich mir nicht genau sicher ob meine Berechnungen so richtig sind, wie sie auch im Text gemeint sind.
Hier sind meine Berechnungen; Habe ich es so richtig verstanden ?
Text erkannt:
Gegebene Parameter \( \Phi(s, \psi, \varphi)=\left(\begin{array}{c}(R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ (R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ s \cos \psi\end{array}\right) \)
0.2 Jacobi-Matrix
\( J=\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi_{2}} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi_{2}} \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi_{3}} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi_{3}} \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi} \end{array}\right) \)
0.3 Ableitungen
1. \( \Phi_{1}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi \)
\( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s}=\cos \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi}=s \cos \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi}=-(R+s \sin \psi) \sin \varphi \end{array} \)
2. \( \Phi_{2}=(R+s \sin \psi) \sin \varphi \)
\( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s}=\sin \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi}=s \sin \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi \end{array} \)
3. \( \Phi_{3}=s \cos \psi \)
\( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s}=\cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi}=-s \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi}=0 \end{array} \)
0.4 Jacobi-Matrix
\( J=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \sin \psi & s \cos \varphi \cos \psi & -(R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ \sin \varphi \sin \psi & s \sin \varphi \cos \psi & (R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ \cos \psi & -s \sin \psi & 0 \end{array}\right) \)
0.5 Determinante Jacobi-Matrix
\( \operatorname{det}(J)=s(R+s \sin \psi) \)
Text erkannt:
0.1 Mein Rechenweg
Gegebene Parameter \( \Phi(s, \psi, \varphi)=\left(\begin{array}{c}(R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ (R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ s \cos \psi\end{array}\right) \)
0.2 Jacobi-Matrix
\( J=\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi} & \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi_{1}} \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi_{2}} & \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi_{1}} \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi} & \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi} \end{array}\right) \)
0.3 Ableitungen
1. \( \Phi_{1}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi \)
\( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial s}=\cos \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \psi}=s \cos \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial \varphi}=-(R+s \sin \psi) \sin \varphi \end{array} \)
2. \( \Phi_{2}=(R+s \sin \psi) \sin \varphi \)
\( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial s}=\sin \varphi \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \psi}=s \sin \varphi \cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial \varphi}=(R+s \sin \psi) \cos \varphi \end{array} \)
3. \( \Phi_{3}=s \cos \psi \)
\( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial s}=\cos \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \psi}=-s \sin \psi \\ \frac{\partial \Phi_{3}}{\partial \varphi}=0 \end{array} \)
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Text erkannt:
0.4 Jacobi-Matrix
\( J=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \sin \psi & s \cos \varphi \cos \psi & -(R+s \sin \psi) \sin \varphi \\ \sin \varphi \sin \psi & s \sin \varphi \cos \psi & (R+s \sin \psi) \cos \varphi \\ \cos \psi & -s \sin \psi & 0 \end{array}\right) \)
0.5 Determinante Jacobi-Matrix
\( \operatorname{det}(J)=s(R+s \sin \psi) \)
