Aus einem Skalarfeld die Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes berechnen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Skalarfeld
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ (x, y, z) \mapsto f(x, y, z)=x y^{2}-x^{2} z+\sin (y z) $$
Berechnen Sie die Jacobi-Matrix des Vektorfeldes
$$ \begin{aligned} \vec{F}: \mathbb{R}^{3} & \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ (x, y, z) & \mapsto(\nabla f)(x, y, z) \end{aligned} $$
Welches Aussehen hat diese in Übereinstimmung mit dem Satz von Schwarz?

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht ganz klar, wie ich meine partiellen Ableitungen des Skalarfeldes auf ein Vektorfeld projizieren kann.

Comments

Wo liegt genau dein Problem? Hast du bereits den Gradienten berechnet? Die Jakobimatrix davon auszurechnen ist dann nicht mehr so schwer.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x,y,z)=xy^2-x^2z+\sin(yz)$$$$\nabla f=\left(\begin{array}{c}y^2-2xz\\2xy+z\cos(yz)\\-x^2+y\cos(yz)\end{array}\right)$$$$J_f=\left(\begin{array}{c}\partial_xf_x & \partial_yf_x & \partial_zf_x\\\partial_xf_y & \partial_yf_y & \partial_zf_y\\\partial_xf_z & \partial_yf_z & \partial_zf_z\end{array}\right)$$$$\phantom{J_f}=\left(\begin{array}{c}-2z &2y & -2x\\2y & 2x-z^2\sin(yz) & \cos(yz)-yz\sin(yz)\\-2x&\cos(yz)-yz\sin(yz) &-y^2\sin(yz)\end{array}\right)$$Wie der Satz von Schwarz postuliert, ist die Jacobi-Matrix symmetrisch: \(J_f=J_f^T\).

Comments

Und noch einmal vielen Dank, hier stand ich bloß auf dem Schlauch.