Aufgabe:
\( \nabla \cdot (\theta(vt-r)\frac{\hat r}{r^2}) \) berechnen.
1) Kann ich \( \theta(vt-r)\) als Skalarfeld betrachten und die Produktregel anwenden?
Theta ist die Heavside-Funktion.
Ich kenne Skalarfelder bis jetzt nur mit höher dimensionalen Definitionsmengen, deswegen die Frage.
Problem/Ansatz:
In der Wiki-Definition wird als Urbildmenge eine Mannigfaltigkeit (kenne das Konstrukt nicht) angegeben.
"Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum \(\mathbb {R} ^{n} \) gleicht." Ich gehe mal davon aus, dass das insbesondere für den topologischen Raum der reellen Zahlen selbst gilt \(\mathbb {R} ^{n} \), also insbesondere für \(n=1\).
\( \nabla \cdot (\theta(vt-r)\frac{\hat r}{r^2}) =\theta(vt-r)(\nabla\cdot \frac{\hat r}{r^2})+( \nabla \theta(vt-r))\cdot \frac{\hat r}{r^2} \)
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2) Kann ich hier einfach den Gradienten und die Divergenz bezüglich Kugelkoordinaten wählen? Die Winkelabhängigkeit ist hier aufgrund der Radialsymmetrie vernachlässigbar.:
$$ \nabla \theta(vt-r)=(\frac{\partial}{\partial r} \theta(vt-r))\hat r \\
\nabla\cdot \frac{\hat r}{r^2}=\frac{1}{r^2}(\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{1}{r^2})) \frac{1}{r^2}=0
$$,
da \(\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{1}{r^2})=0\)
Korrekt?
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Transformation_des_Nabla-Operators
