Bestimmen Sie ein Skalarfeld F(r)

Question

Aufgabe: Skalarfeld berechnen

Problem/Ansatz:

Ich habe meiner Aufgabe zuvor ein Vektorfeld berechnet und zwar:

A(r)= (4xy+z² / 2x²+2yz / 3y² -2xz)

Die neue Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie ein Skalarfeld F(r) für das gilt:

A(r)= grad · G(r)

Ich habe noch nie so eine Aufgabe berechnet und nach längerem Googeln bin ich immer noch nich auf einen korrekten Ansatz gestoßen.

Ich wäre sehr dankbar für eine Hilfe!

Mfg, Rick

Comments

Das Vektorfeld \(\vec A\) hat kein solches Skalarfeld \(F\).

Daher wird bei der Berechnung von \(\vec A\) was falsch gelaufen sein.

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Ich rechne es gleich nochmal nach!

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Die Vollkommene Aufgabe lautet (nur so nebenbei ich hab Φ(r) von zuvor mit F(r) von einer anderen Aufgabe verwechselt entschuldigung) :

a) Bestimme β so, dass das Vektorfeld

A(r) = (2βxy+z2 / βx2+(4-β)yz / 3y2-βxz)

wirbelfrei ist.

b) Bestimmen Sie für den in (a) berechneten Wert von β ein Skalarfeld Φ(r) für das gilt:

\(A(\vec{r}) = \nabla_ * Φ(\vec{r}) \)

Ansatz:

a) Ich habe den Betrag von

(Laplace-operator)×A(r)

Gleich 0 gesetzt und daraus β=2 erhalten

Answer 1

Ich denke es sollte wohl heißen

$$ A(\vec{r}) = \nabla_{\vec{r}} F(\vec{r}) $$

Wenn dem so ist, sind die Integrabilitätsbedingung für \( A(\vec{r}) \) nicht erfüllt die da lauten

$$ \frac{\partial A_i(\vec{r})}{\partial x_j} = \frac{\partial A_j(\vec{r})}{\partial x_i} $$

Alos gibt es kein solches gesuchtes Skalarfeld. Ist die Aufgabe korrekt abgeschrieben?

Comments

Die Vollkommene Aufgabe lautet (nur so nebenbei ich hab Φ(r) von zuvor mit F(r) von einer anderen Aufgabe verwechselt, ist mir überaus peinlich entschuldigung) :

a) Bestimme β so, dass das Vektorfeld

A(r) = (2βxy+z² / βx²+(4-β)yz / 3y²-βxz)

wirbelfrei ist.

b) Bestimmen Sie für den in (a) berechneten Wert von β ein Skalarfeld Φ(r) für das gilt:

\(A(\vec{r}) = \nabla_   * Φ(\vec{r}) \)

Ansatz:

a) Ich habe den Betrag von

(Laplace-operator)×A(r)

Gleich 0 gesetzt und daraus β=2 erhalten

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Den Operator kenne ich unter dem Namen Nabla-Operator und wenn Du richtig rechnest, kommt \( \beta = -2 \) raus. Dann ist auch die Integrabilitätsbedingung erfüllt.

Jetzt muss gelten

$$ (1) \quad \Phi_x = -4xy+z^2 $$ $$ (2) \quad \Phi_y = -2x^2 + 6yz $$ $$ (3) \quad \Phi_z = 3y^2 +2xz $$

Daraus folgt

$$ (4) \quad \Phi = -2x^2y+z^2x + f(y,z) $$ $$ (5) \quad \Phi = -2x^2y+3y^2z + g(x,z) $$ $$ (6) \quad \Phi = 3y^2z +xz^2 + h(x,y) $$

Wenn man \( f(y,z) = 3y^2z \) , \( g(x,z) = z^2x \) und \( h(x,y) = -2x^2y \) wählt wird $$ \Phi = -2x^2y+z^2x+3y^2z $$ und dieses \( \Phi \) erfüllt alle Bedingungen.

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Vielen vielen Dank!!!