Skalare Felder: ϕ1 = cos (a · r) und ϕ2 = e^−αr2 (Grad und Divergenz bestimmen)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die skalaren Felder ϕ1 = cos (a · r) und ϕ2 = e^−αr2    (a konstanter Vektor, α=konst.)

a) Berechnen Sie jeweils grad ϕ = ∇ϕ

b)Berechnen Sie anschließend die Divergenz dieser Vektorfelder div grad ϕ = ∇ · (∇ϕ)

Ich stehe kurz vor den Prüfungen und kann wahrscheinlich die einfachste Rechnung nicht berechnen. Ich habe gar keinen Ansatz, vielleicht kann mir jemand helfen. Danke!

Comments

"Ich habe gar keinen Ansatz, ..."

Und wieso benutzt du nicht einfach die Definition von grad und div ?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\vec\nabla\cos(\vec a\cdot\vec r)=\vec\nabla\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)=\begin{pmatrix}-\sin(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_1\\-\sin(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_2\\-\sin(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_3\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec\nabla\cos(\vec a\cdot\vec r)}=-\vec a\sin(\vec a\cdot\vec r)$$$$\vec\nabla\cdot\left(-\vec a\sin(\vec a\cdot\vec r)\right)=-\vec a\cdot\vec\nabla\sin(\vec a\cdot\vec r)=-\vec a\begin{pmatrix}\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_1\\\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_2\\\cos(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)\cdot a_3\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec\nabla\cdot\left(-\vec a\sin(\vec a\cdot\vec r)\right)}=-a^2\cos(\vec a\cdot\vec r)$$

$$\vec\nabla e^{-\alpha r^2}=e^{-\alpha r^2}\cdot(-2\alpha\vec r)=-2\alpha\vec r\,e^{-\alpha r^2}$$$$\vec\nabla\cdot\left(-2\alpha\vec r\,e^{-\alpha r^2}\right)=-2\alpha(\vec\nabla\cdot\vec r)e^{-\alpha r^2}-2\alpha\vec r\,\vec\nabla(e^{-\alpha r^2})$$$$\phantom{\vec\nabla\cdot\left(-2\alpha\vec r\,e^{-\alpha r^2}\right)}=-2\alpha\cdot3\cdot e^{-\alpha r^2}-2\alpha\vec r\cdot(-2\alpha\vec r e^{-\alpha r^2})=(4\alpha^2r^2-6\alpha)\,e^{-\alpha r^2}$$