δ Funktion - Relation zeigen

Question

Aufgabe:

δ((x-1)(x-2)(x-3)) = 1/2(δ(x-1)+2δ(x-2)+δ(x-3))

Problem/Ansatz:

hallo, kann mir jemand helfen, diese Relation zu zeigen?

ich bin folgendermaßen vorgegangen:

\( \delta(g(x))=\sum \limits_{j} \frac{1}{\left|g^{\prime}\left(x_{j}\right)\right|} \delta\left(x-x_{j}\right) \)

dabei ist x_j ihre Nullstelle.

Für (x-1) komme ich Auf δ(x-1), für (x-2) δ(x-2) und für (x-3) δ(x-3). So dass ich letztendlich auf δ(x-1) + δ(x-2)+ δ(x-3) komme. Allerdings verstehe ich nicht, weshalb bei der Aufgabe am Anfang noch ein 1/2 steht und eine 2 vor δ(x-2).

Ist meine Vorgehensweise möglicherweise komplett falsch?

Answer 1

Aloha :)

Die Formel stimmt:$$\delta(g(x))=\sum\limits_{i=1}^N\frac{1}{|g'(x_i)|}\cdot\delta(x-x_i)$$

In unserem Fall ist nun:$$g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$$$g'(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)=3x^2-12x+11$$

Damit wendest du die Formel auf die 3 Nullstellen \(x_1=1,\,x_2=2,\,x_3=3\) an:

$$\phantom=\delta(\,(x-1)(x-2)(x-3)\,)$$$$=\frac{1}{|g'(1)|}\delta(x-1)+\frac{1}{|g'(2)|}\delta(x-2)+\frac{1}{|g'(3)|}\delta(x-3)$$$$=\frac{1}{|2|}\delta(x-1)+\frac{1}{|-1|}\delta(x-2)+\frac{1}{|2|}\delta(x-3)$$$$=\frac12\delta(x-1)+\delta(x-2)+\frac{1}{2}\delta(x-3)$$$$=\frac12\cdot\left(\,\delta(x-1)+2\cdot\delta(x-2)+\delta(x-3)\,\right)$$

Die Vorfaktoren kommen also aus der ersten Ableitung von \(g(x)\) im Nenner.

Comments

Ah ok, sehe meinen Fehler. Danke dir