Aufgabe:
In einem wassergefüllten Gefäß wird an der Stelle r = (0, 0, 0)T
eine fixe Menge einer NaCl-Lösung zugegeben. Kurze Zeit nach der Zugabe ist die Konzentrationsverteilung für die Natriumionen ¨
gegeben durch
c(r ) = exp (− |r|2) mol/l.
Die Teilchenflussdichte aufgrund der Diffusion ist gegeben durch
J(r ) = −D∇c(r),
wobei D = 1, 26 · 10-9 m2/s der Diffusionskoeffizient der Natriumionen ist. Berechnen Sie den Teilchenfluss aus der gegebenen Konzentration und skizzieren sie ihn in der xy-Ebene. Stellen sie hierfür die Richtung und Stärke der Flussdichte durch Pfeile verschiedener Länge dar
Problem/Ansatz:
Bei Konzentrationen befinden wir uns ja in einem Skalarfeld, weshalb wir in diesem Fall ja den Gradient von c(r) berechnen. Grundsätzlich weiß ich, dass man hierfür die partielle Ableitung verwendet. Also einmal nach x, nach y und nach z ableiten. Aber mir ist nicht ersichtlich wie ich das bei der gegebenen Konzentrationsverteilung c(r) machen soll. Muss ich dafür das gegebene r aus der Aufgabenstellung einsetzten? Aber dann würde ich ja auf 1 mol/l kommen oder nicht? Aber trotzdem wüsste ich dann nicht wie ich ableiten soll, da kein x,y,z vorhanden ist? Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen und mir auch erklären wie ich so ein Feld zeichne?
