Berechnung der Fouriertransformierten

Question

Aufgabe:

Für \( \lambda>0 \) und \( a \in \mathbb{R} \) sei
\( f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & t \leq 0 \\ \exp ((-\lambda+\mathrm{i} a) t) & t>0 \end{array}\right. \)
(a) Berechne die Fouriertransformierte von \( f(t) \).

Kann wer die Aufgabe mir erklärend vorrechnen? Danke :)

Comments

Schreib doch mal die Definition der Fouriertransformation mit Eure Bezeichnungen hierhin.

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\({F}(s)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} s t} \mathrm{~d} t \)

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Und wenn Du da jetzt f einsetzt?

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Ist exp(x)=e^x ?

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\({F}(s)=\int \limits_{0}^{\infty} exp((−λ + ia)t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} s t} \mathrm{~d} t \)  

=((1)/(-λ + ia-is))*e^((-λ + ia)t-ist))

Wäre das so in Ordnung?

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Ja das wäre jetzt die stammfunktion.

Noch ein Tipp für den nächsten Schritt: Für reelle x ist \(|\exp(ix)|=1\)

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Danke für den Tipp und die bisherige Hilfe. Könnten Sie mir zeigen wie der nächste Schritt auszusehen hat?

Answer 1

Wir sind schon soweit (ich schreibe p statt lambda)

$$\int_0^{\infty}\exp((-p+ia-is)t)\;dt= \lim_{T \to \infty} \left[\frac{1}{-p+ia-is}\exp((-p+ia-is)t)\right]_0^T$$

Wir brauchen letzt den Grenzwert, dazu der Tipp;

$$|\exp((-p+ia-is)T)|=|\exp(-pT)||\exp((ia-is)T)|=|\exp(-pT)| \to 0$$

(Beachte: p>0 ist vorausgesetzt). Damit ist das ERgebnis:

$$F(s)=-\frac{1}{-p+ia-is}$$