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die Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, \quad f(t)=\left\{\begin{array}{ll} \sin (t) & \text { wenn }|t| \leq \pi \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Berechne die Fourier-Transformierte von \( f \) an den Stellen 1 und -1.
Hinweis: \( \sin (t)=\frac{1}{2 i}\left(e^{i t}-e^{-i t}\right) \).

Kann wer die Aufgabe mir erklärend vorrechnen? komme hier nicht voran und weiß nicht wie ich vorteilhaft umformen soll. Danke :)

F(s) = ∫_{-π}^π sin(t)e^(-ist) dt = (1/(2i)) * (∫_{-π}^π e^(it)e^(-ist) dt - ∫_{-π}^π e^(-it)e^(-ist) dt) =...
F(1)=...
F(-1)=...

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Hallo

a) kannst du e^At integrieren?

b) kannst du e^it*e^ist zusammenfassen in e^At?

lul

a) (1/A)e^(At)

b) e^((i+is)*t)


Ist denn mein Ansatz überhaupt richtig?

1 Antwort

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Aloha :)

$$F(\omega)=\int\limits_{t=-\pi}^{\pi} \sin(t)\,e^{-i\omega t}\,dt=\int\limits_{t=-\pi}^{\pi}\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\,e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{2i}\int\limits_{t=-\pi}^{\pi}\left(e^{it-i\omega t}-e^{-it-i\omega t}\right)dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{1}{2i}\int\limits_{t=-\pi}^{\pi}\left(e^{i(1-\omega)t}-e^{-i(1+\omega)t}\right)dt=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{i(1-\omega)t}}{i(1-\omega)}-\frac{e^{-i(1+\omega)t}}{-i(1+\omega)}\right]_{t=-\pi}^\pi$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{1}{i}\left[\frac{e^{i(1-\omega)t}}{2i(1-\omega)}+\frac{e^{-i(1+\omega)t}}{2i(1+\omega)}\right]_{t=-\pi}^\pi=\frac1i\left[\frac{\red{e^{i(1-\omega)\pi}-e^{-i(1-\omega)\pi}}}{\red{2i}(1-\omega)}+\frac{\green{e^{-i(1+\omega)\pi}-e^{i(1+\omega)\pi}}}{\green{2i}(1+\omega)}\right]$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac1i\left[\frac{\red{\sin((1-\omega)\pi)}}{(1-\omega)}\green{-}\frac{\green{\sin((1+\omega)\pi)}}{(1+\omega)}\right]=\frac1i\left[\frac{\red{\sin(\omega\pi)}}{(1-\omega)}\green{+}\frac{\green{\sin(\omega\pi)}}{(1+\omega)}\right]$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\left(\frac{1}{1-\omega}+\frac{1}{1+\omega}\right)=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\frac{(1+\omega)+(1-\omega)}{(1-\omega)(1+\omega)}$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\frac{2}{1-\omega^2}=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\frac{2i^2}{\omega^2-1}=\frac{2i\sin(\omega\pi)}{\omega^2-1}$$

Avatar von 152 k 🚀

Hallo Tschaika

Lotte hatte doch schon alles richtig, und wollte nur bestätigt haben, ob ihr Ansatz richtig ist, warum schreibst du dann die Lösung mit soviel Aufwand?

lul

Danke

Da man nicht 0 teilen darf, kann ich F(1) und F(-1) nicht berechen. Was bedeutet das im Kontext?

Hallo

auch der Zähler wird ja 0, also musst du den GW x->1 bestimmen, und F(s) so bei 1 stetig  ergänzen. (L' Hopital )

lul

Nach L hospital komme ich auf -i*pi für s->1   und i*pi für s->-1

Stimmt das so?

Hätte ich damit die Stelle der Fouriertransformierten?

Für \(\omega=\pm1\) werden Zähler und Nenner unabhängig voneinander gleich Null. In diesem Fall darf man zur Grenzwertbildung nach der Regel von L'Hospital Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$\lim\limits_{\omega\to\pm1}\frac{2i\sin(\omega\pi)}{\omega^2-1}=\lim\limits_{\omega\to\pm1}\frac{2i\pi\cos(\omega\pi)}{2\omega}=\mp i\,\pi$$

Hallo

du musst dazu sagen, dass das die stetige Ergänzung von F(1) im Punkte s=1 ist! Denn 0/0 ist ja wirklich kein funktionswert.

Gruß lul

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