Berechnung der Fourier-Transformierten an bestimmten Stellen

Question

die Funktion
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, \quad f(t)=\left\{\begin{array}{ll} \sin (t) & \text { wenn }|t| \leq \pi \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right.$
Berechne die Fourier-Transformierte von $f$ an den Stellen 1 und -1.
Hinweis: $\sin (t)=\frac{1}{2 i}\left(e^{i t}-e^{-i t}\right)$.

Kann wer die Aufgabe mir erklärend vorrechnen? komme hier nicht voran und weiß nicht wie ich vorteilhaft umformen soll. Danke :)

F(s) = ∫_-π^π sin(t)e^(-ist) dt = (1/(2i)) * (∫_-π^π e^(it)e^(-ist) dt - ∫_-π^π e^(-it)e^(-ist) dt) =...
F(1)=...
F(-1)=...

Comments

Hallo

a) kannst du e^At integrieren?

b) kannst du e^it*e^ist zusammenfassen in e^At?

lul

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a) (1/A)e^(At)

b) e^((i+is)*t)

Ist denn mein Ansatz überhaupt richtig?

Answer 1

Aloha :)

$$F(\omega)=\int\limits_{t=-\pi}^{\pi} \sin(t)\,e^{-i\omega t}\,dt=\int\limits_{t=-\pi}^{\pi}\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\,e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{2i}\int\limits_{t=-\pi}^{\pi}\left(e^{it-i\omega t}-e^{-it-i\omega t}\right)dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{1}{2i}\int\limits_{t=-\pi}^{\pi}\left(e^{i(1-\omega)t}-e^{-i(1+\omega)t}\right)dt=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{i(1-\omega)t}}{i(1-\omega)}-\frac{e^{-i(1+\omega)t}}{-i(1+\omega)}\right]_{t=-\pi}^\pi$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{1}{i}\left[\frac{e^{i(1-\omega)t}}{2i(1-\omega)}+\frac{e^{-i(1+\omega)t}}{2i(1+\omega)}\right]_{t=-\pi}^\pi=\frac1i\left[\frac{\red{e^{i(1-\omega)\pi}-e^{-i(1-\omega)\pi}}}{\red{2i}(1-\omega)}+\frac{\green{e^{-i(1+\omega)\pi}-e^{i(1+\omega)\pi}}}{\green{2i}(1+\omega)}\right]$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac1i\left[\frac{\red{\sin((1-\omega)\pi)}}{(1-\omega)}\green{-}\frac{\green{\sin((1+\omega)\pi)}}{(1+\omega)}\right]=\frac1i\left[\frac{\red{\sin(\omega\pi)}}{(1-\omega)}\green{+}\frac{\green{\sin(\omega\pi)}}{(1+\omega)}\right]$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\left(\frac{1}{1-\omega}+\frac{1}{1+\omega}\right)=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\frac{(1+\omega)+(1-\omega)}{(1-\omega)(1+\omega)}$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\frac{2}{1-\omega^2}=\frac{\sin(\omega\pi)}{i}\cdot\frac{2i^2}{\omega^2-1}=\frac{2i\sin(\omega\pi)}{\omega^2-1}$$

Comments

Hallo Tschaika

Lotte hatte doch schon alles richtig, und wollte nur bestätigt haben, ob ihr Ansatz richtig ist, warum schreibst du dann die Lösung mit soviel Aufwand?

lul

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Danke

Da man nicht 0 teilen darf, kann ich F(1) und F(-1) nicht berechen. Was bedeutet das im Kontext?

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Hallo

auch der Zähler wird ja 0, also musst du den GW x->1 bestimmen, und F(s) so bei 1 stetig  ergänzen. (L' Hopital )

lul

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Nach L hospital komme ich auf -i*pi für s->1   und i*pi für s->-1

Stimmt das so?

Hätte ich damit die Stelle der Fouriertransformierten?

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Für $\omega=\pm1$ werden Zähler und Nenner unabhängig voneinander gleich Null. In diesem Fall darf man zur Grenzwertbildung nach der Regel von L'Hospital Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$\lim\limits_{\omega\to\pm1}\frac{2i\sin(\omega\pi)}{\omega^2-1}=\lim\limits_{\omega\to\pm1}\frac{2i\pi\cos(\omega\pi)}{2\omega}=\mp i\,\pi$$

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Hallo

du musst dazu sagen, dass das die stetige Ergänzung von F(1) im Punkte s=1 ist! Denn 0/0 ist ja wirklich kein funktionswert.

Gruß lul