(einsetzen) Integralumformung einer Fourier Transformierten mittels Lösungsformel

Question

Aufgabe:

Wenn t = T/4 + T/4*x ist dann habe ich im Integranden folgendes:

$$U_I(f) := \int_{-1}^{1} \cos{(\pi \cdot x)} \cdot \sin{(\pi \cdot x)} \cdot {e}^{- 2 \pi  j  f  \frac{T}{4} \cdot (1 + x)} \frac{T}{2} dx$$

Ich habe hier schon das t in das t der e Funktion eingesetzt.  

Problem/Ansatz:

Laut der Lösung soll für die e Funktion folgendes rauskommen:

$${e}^{- \pi j T f x}$$

Das ist dann auch schon meine Frage:

Wie komme ich von der e Funktion aus dem Integranden, in die e Funktion der Lösung ?

Viele Dank schon mal im voraus

Answer 1

cos(π * (y+1)) = - cos(π * y) weil cos(π * (y+1)) die Periode 2 hat (Verschiebe das Schaubild um 1 in x-Richtung)

sin(π * (y+1)) = - sin(π * y)

also:

\( \int\limits_{-1}^{1} \) T/2 * cos(π * y)⋅sin(π * y) e^(−π j f T/2 * (y+1))  * dy

= \( \int\limits_{-1}^{1} \) T/2 * cos(π * (y+1))⋅sin(π * (y+1)) e−^(π j f T/2 * (y+1))  * dy

dann weiter wie in:

https://www.mathelounge.de/683889/integralumformung-fouriertransformation-2-sin-cos?state=edit-684182

=\( \frac{2T(1-e^{-π* f* j *T})}{π*( [f*j*T]^{2}  +16)} \)       mit der Abkürzung k= -π* f* j *T

= 2πT * \( \frac{1 - e^{k}  }{k^{2} + 16π^{2}} \)