Berechnen Sie die Fourier-Transformierten der Funktionen

Question

Aufgabe:

es geht um die Aufgabe c (ii)

Text erkannt:

(c) Berechnen Sie die Fourier-Transformierten der Funktionen
(i) \( f(x)=e^{-|x|} \),
(ii) \( f(x)=e^{-x^{2} / 2 \sigma_{x}^{2}} \), mit \( \sigma_{x}= \) const.

bzw um Fouriertransformationen. ( Siehe Anhang für Aufgabe und eigene Lösung). Schwierigkeiten gibt es bei komplexer e-Funktion. Hoffe es kann jemand helfen!

Text erkannt:

\( \text { c) } \begin{array}{l} \quad f(x)=e^{-x^{2} / 2 \theta_{x}^{2}} \\ \hat{f}(h)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2 \theta_{x}^{2}}} e^{-i k x} d x \\ =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{(-N}^{N} e^{-\frac{x^{2}}{2 \theta^{2}}} \underbrace{-i h x} d x \end{array} \)

Part.Jnd.
\( \begin{array}{l} \left.=-\frac{\theta^{2}}{x} \frac{-x^{2}}{e^{2} \theta^{2}} e^{-i 4 x}-\frac{i g g}{x} \int e^{-\frac{x^{2}}{2 \theta^{2}}} e^{-\cdot h x} d x \quad \right\rvert\,+\frac{i h \theta^{2}}{x} \int \ldots \\ \rightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}+\frac{i h \sigma^{2}}{x}\right) \int \limits_{-N}^{N} e^{-\frac{i^{2}}{2 \pi}} e^{-i 2 x} d x=-\frac{\theta^{2}}{x} \ldots \\ \end{array} \)

LG

Answer 1

Da gibt es einen Trick, auf den man nicht kommen muss, auf den aber vielleicht in den Teilaufgaben vorher angespielt wurde. Daher stets die Aufgabe mit allen(!) Teilen posten.

Wir setzen \(f(t)=e^{-\frac1u t^2}\). Die Schritte sind nun wie folgt:

Beide Seiten ableiten. Danach auf beide Seiten die FT anwenden (Regel für die Ableitung im Zeitbereich). Das ergibt eine einfache Dgl für \(F(k)\) (\(F\) ist die FT von \(f\)). Diese lösen. Man braucht dann noch den Anfangswert, den holt man aus \(F(0)\), bekannter Wert aus der Normalverteilung.

Ergebnis sollte sein: \(F(k)=\sqrt{\frac{u}2}e^{-\frac{u}4k^2}\).

Comments

Tut mir leid kann dir nicht ganz folgen. Der erste Schritt f(t) = e ^{-\( \frac{1}{u} \)t²}  bezieht sich auf was genau?

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Wie, bezieht sich auf? Das ist die zu transformierende Funktion, eben \(f\).

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} f(t)=e^{-\frac{1}{4} t^{2}} \Leftrightarrow f^{\prime}(t)=\frac{2}{4} t e^{-\frac{1}{u} t^{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(t) e^{-i a t} d t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\pi}-\frac{2}{u} t e^{-\frac{1}{4} t^{2}} e^{-i a t} d t \\ =\frac{1}{\sqrt{2 a}} \int-\frac{2}{u} t e^{-\left(\frac{1}{u} t^{2}+i h t\right)} d t\end{array} \)

Sorry steht gerad echt aufm Schlauch mit der Erklärung. Hab es jetzt so..

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Ich les Dir nochmal den Schritt vor: "Danach auf beide Seiten die FT anwenden (Regel für die Ableitung im Zeitbereich)." Auf der linken Seite gibt das \(F(k)\), und ...