Beweis: Vereinfachte Berechnung der Fourier-Koeffizienten gerader und ungerader Funktionen

Question

Aufgabe:

Rechnen Sie nach, dass für die Fourier-Koeffizienten gilt:

a_n=\( \frac{2}{π} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) f(x)cos(nx)dx, b_n=0, falls f gerade (d.h. f(-x)=f(x))

b_n=\( \frac{2}{π} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) f(x)sin(nx)dx, a_n=0, falls f ungerade (d.h. f(-x)=-f(x))

Problem/Ansatz:

Ich möchte zunächst das a_n für gerade Funktionen beweisen:

Die allgemeine Definition für a_n ist: a_n=\( \frac{1}{π} \) \( \int\limits_{-π}^{π} \) f(x)cos(nx)dx.
Diese habe ich umgeformt zu a_n=\( \frac{1}{π} \) ( - \( \int\limits_{0}^{-π} \) f(x)cos(nx)dx + \( \int\limits_{0}^{π} \) f(x)cos(nx)dx), ist der Ansatz richtig?
Und wie kann ich das jetzt anhand der Geradheit so umformen, dass in den Klammern zwei mal das gleiche Integral steht, um auf die Aufgabenstellung zu kommen?

Answer 1

Hallo

 f(x) und cos(nx) sind gerade. also auch f(x)*cos(nx) du kannst also substituieren y=-x  dy=-dx , Grenzen x=-pi zu y=pi x=0 y=0  dann hast du

$$-\int_0^{-\pi}f(x)cos(nx)dx=-\int_0^{\pi}f(y)cos(ny)*(-1)dy =\int_0^{\pi}f(y)cos(ny)*dy$$und ob der Integrand x oder y heisst ist ja egal.

bei sin, ungerade und f(x) ungerade ist wieder f(x)*sin(nx) gerade, dann läuft das Argument genauso.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Du brauchst in Deinem ersten Integral lediglich die Substitution y=-x durchführen und beachten, dass die cos-Funktion gerade ist und nach Voraussetzung auch f.

Gruß