Integralumformung Fouriertransformation 2*sin*cos

Question

Aufgabe:

Zu $$T \in (0|\infty) \text{ sei } u_I : \mathbb{R} \rightarrow {\mathbb{C}} \text{ definiert durch: }$$

$$u_I(t) := 2 \cdot \cos{(\frac{4 \pi t}{T})} \cdot \sin{(\frac{4 \pi t}{T})} \text{ für } t \in I := (0|\frac{T}{2})$$

$$\text{ und } u_I(t) := 0 \text{ für } t \in \mathbb{R} \backslash I \text{. Nehmen Sie zunächst für bel. } f \in \mathbb{R} \text{ die Integralumformung}$$

$$U_I(f) := \int_{a = 0}^{b = \frac{T}{2}} u_I(t) \cdot {e}^{-2 \pi j f t} dt = \int_{-1}^{1} w(x) dx$$

durch eine Substitution $$t = \varphi(x)$$ mittels einer geeigneten reell-affin-linearen Funktion $$\varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ mit } \varphi{(-1)} = 0 \text{ und } \varphi{(1)} = \frac{T}{2} \text{ vor und geben Sie nachstehend ihre Wahl für }$$

$$\varphi(x) := ?$$

$$w(x) := ? \quad \text{ für } x \in \mathbb{R} \text{ an ! }$$

$$\text{ Zerlegen Sie anschließend }w = w_g + w_u \\ \text{ in einen 'geraden' Anteil } w_g \text{und einen 'ungeraden' Anteil } w_u \\ \text{ und geben Sie den geraden Anteil für nicht-negative } \\ x \in [0|\infty) \\ \text{ in möglichst einfacher Weise (d.h. ohne Produktbildungen aus sin- bzw. cos- Termen) explizit an }$$

$$w_g(x) = ?$$

$$\text{ und berechnen Sie für alle 'generischen' } f (\text{ d.h. bis auf die Ausnahme von Spezialfällen mit } T \cdot f \in \mathbb{Z}) \text{ das nun noch verbleibende Integral: }$$

$$U_I(f) = 2 \cdot \int_{0}^{1} w_g(x) dx$$

Problem/Ansatz:

Die Substitution ist wie folgt:

$$t = \frac{a + b}{2} + x \cdot \frac{b - a}{2} = \frac{T}{4} + x \cdot (\frac{T}{4})$$

Laut der Lösung soll für w(x) folgendes rauskommen:

$$w(x) = \frac{T \cdot {e}^{-j \cdot \pi \cdot T \cdot f \cdot x} \cdot \cos{(\pi \cdot x)} \sin{(\pi \cdot x)}}{2} (x \in \mathbb{R})$$

Und für wg(x) folgendes:

$$w_g(x) = \frac{j \cdot T \cos{((\pi \cdot T \cdot f + 2 \cdot \pi) \cdot x)} - j \cdot T \cdot \cos{((\pi \cdot T \cdot f - 2 \cdot \pi) \cdot x)}}{8} (x \in [0|\infty))$$

Frage:

Wie komme ich auf den Exponenten der e Funktion mit - j pi T f und x in der Lösung für w(x) also:

$$w(x) = \frac{T \cdot {e}^{-j \cdot \pi \cdot T \cdot x} \cdot \cos{(\pi \cdot x)} \cdot \sin{(\pi \cdot x)}}{2}$$

Answer 1

Von der Befehlsfolge in der Aufgabenstellung wird man wie ein Affe am Nasenring durch die Manege geführt.

Darüberhinaus ist w(t) in der Lösung falsch.  ∫ dein w(t) = 0,7...mit j=T=f=1

So ist es richtig:

\( \int\limits_{0}^{T/2} \) 2⋅cos(4πt/T)⋅sin(4πt/T) e^{−2π j f t}  dt

t=T/4 * (x+1), dt = T/4 * dx, x= 4/T * t  -1

= \( \int\limits_{-1}^{1} \) 2⋅cos(4πT/4 * (x+1)/T)⋅sin(4πT/4 * (x+1)/T) e^{−2π j f T/4 * (x+1)}  T/4 * dx

= \( \int\limits_{-1}^{1} \) 2⋅cos(π * (x+1))⋅sin(π * (x+1)) e^{−π j f T/2 * (x+1)}  T/4 * dx

Ich schreib mal kurz y satt x:

= \( \int\limits_{-1}^{1} \) T/2 * cos(π * (y+1))⋅sin(π * (y+1)) e^{−π j f T/2 * (y+1)}   * dy

x = y+1, dx = dy

= \( \int\limits_{0}^{2} \) T/2 * cos(π * x)⋅sin(π * x) e^{−π j f T/2 * x}  * dx    (nahe an deiner Lösung, aber nicht gleich!)

y=π * x. dy= π * dx

= \( \int\limits_{0}^{2π} \) T/2π * cos(y)⋅sin(y) e^{− j f T/2 *y}  * dy    sin2x=2sinx cosx

= \( \int\limits_{0}^{2π} \) T/4π * sin(2y) e^{− j f T/2 *y}  * dy

x=2y, dx=2dy

= \( \int\limits_{0}^{4π} \) T/8π * sin(x) e^{− j f T/4 *x}  * dx

jetzt 2 mal part. integrieren: u=sin(x)   v'(x)= e^{− j f T/4 *x}  besser v'(x)= e ^k*x

beim 2. mal u(x) = -cos(x) Dann kommt fast wieder das ursprüngl. Integral heraus.

dann (1+1/k²)*∫ = [...]

dann:

=\( \frac{2T(1-e^{-π* f* j *T})}{π*( [f*j*T]^{2}  +16)} \)

mit der Abkürzung k= -π* f* j *T

= 2πT * \( \frac{1 - e^{k}  }{k^{2} + 16π^{2}} \)