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Aufgabe:

Berechnen Sie wenn möglich den geraden und den ungeraden Anteil der Funktionen.

Problem/Ansatz:

$$f_1(x)=x\cdot \sqrt{x}$$$$f_2(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$$$$f_3(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}$$

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sinh(x) ist bereits vollständig ungerade.

f3 solltest du vorher kürzen.

1 Antwort

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jede Funktion lässt sich als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben, d. h.:$$f(x)=f_g(x)+f_u(x)$$ Daraus folgt, dass der gerade Anteil einer Funktion wie folgt definiert ist:$$f_g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ Und der ungerade Teil wie folgt definiert ist:$$f_u(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

Avatar von 28 k

auch die erste? was soll ich also mit $$ \sqrt{-x}$$ machen?

Es steht nicht umsonst "wenn möglich" in der Aufgabenstellung.

also diese Funktion lasst sich einfach nicht als Summe einer geraden und ungeraden Funktion bestimmen,oder?

Nicht in den Reellen Zahlen. Achte auch auf die Tipps von Gast62.

\(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)\)

Die Funktionen \(\sinh(x)\) und \(\cosh(x)\) sind der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion  \(e^x=\cosh(x)+\sinh(x)\).

Des Weiteren ist es sehr leicht bei \(f_3\) zu kürzen, um den Rechenaufwand zu reduzieren.

bin jetzt auf gerade Anteil der 2.Funktion gekommen also: $$\frac{1}{2}$$

und ungerade: $$e^{x}-e^{-x}$$

stimmt das?

......................Nein.

Wie hast du gerechnet?

okay, habe schon verstanden, ganze Funktion sinh(x) ist ungerade.

und im dritten Beispiel die gerade Teil läutet:

$$\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}$$

und ungerade:

$$\frac{-4x}{x^{2}-4}$$  ??

f(x)=(x^2-4)/(x^2+4x+4)

f(x)=((x-2)(x+2))/((x+2)^2)

f(x)=(x-2)/(x+2)

Ungerader Anteil:$$f_u(x)=\frac{\frac{x-2}{x+2}-\left(\frac{-x-2}{-x+2}\right)}{2}$$$$f_u(x)=\frac{4x}{4-x^2}$$ und der Gerade Anteil:$$f_g(x)=\frac{x^2+4}{4-x^2}$$

okay, mit die ungerade Anteil hast du Recht aber bist du sicher dass diese gerade richtig ist? Ich habe schon ein paar mal gerechnet und ich komme immer auf


$$\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}$$

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