Stetigkeit mehrdimensionale Analysis/ Analysis II für Ingenieure

Question

ich habe Probleme dabei Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt in der mehrdimensionalen Analysis zu zeigen (Unstetigkeit zeigen dagegen fällt mir leicht). Ich habe folgende Aufgabe und würde mich freuen, wenn mir jemand zeigen könnte wie man schematisch an so eine Aufgabe herangeht:

Sei die Funktion f: ℝ² → ℝ gegeben durch

((xy)^2)/((x^2+y^2)) + x^2    für (x,y) ≠ (0,0)
f(x,y) =      
                    0                                 für (x,y) = (0,0)

f ist ja als Komposition stetiger Funktionen außerhalb von (0,0) stetig, es bleibt also zu überprüfen ob f auch in (0,0) stetig ist.. nur weiß ich nicht, wie ich das anstelle :/

Aus einer Mitschrift habe ich noch folgende "Formel":

lim_k→∞ |f(x_k, y_k) - f(x,y)| = 0 ≤ lim_k→∞ |f(x_k, y_k)| = Wert an dem die Funktion übergeben wird(?)
wobei (x_k, y_k) eine beliebige gegen (x,y) = (0,0) konvergente Folge ist.

Answer 1

hier würde ich dir raten, dass Folgenkriterium für Stetigkeit zu benutzen (das meint wahrscheinlich deine "Formel", ist so aber auch nicht korrekt notiert).

Es lohnt sich bei dieser Aufgabe auch mit Polarkoordinaten zu arbeiten.

Gruß

Comments

Der Tipp mit den Polarkoordinaten war sehr hilfreich, danke! Ich habe als Ansatz stehenlim (x,y)->(0,0) |f(x,y)-f(0,0)| = lim (x,y)->(0,0) |f(x,y)| = ...hier habe ich dann in Polarkoordinaten umgewandelt, ich konnte vieles kürzen und zum Schluss hatte ich nur nochlim (x,y)->(0,0) cos^2φsin^2φ + r^2*cos^2φ = 0 Stimmt das so?

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*Note: Nachdem ich in Polarkoordinaten umgewandelt habe, natürlich

lim (r,φ)→(0,0)

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Ja fast, aber eigentlich müsstest du nach dem kürzen als Term

$$ r^2\cos^2(\varphi)\sin^2(\varphi) + r^2\cos^2(\varphi) $$

da stehen haben. Du hast also ein \(r^2\) vergessen.

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Oh ja, das war nur ein Tippfehler :)

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Gerne hab ja kaum was gemacht ;).

Answer 2

Eine andere Möglichkeit ist, erstmal die Funktion \(g(x,y)=\begin{cases}\frac{(xy)^2}{x^2+y^2} &, (x,y)\neq(0,0) \\ 0&, (x,y)=(0,0)\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}&, (x,y)\neq(0,0) \\ 0&, (x,y)=(0,0)\end{cases}\) auf Stetigkeit zu untersuchen. Das geht mit dem \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium. Damit kann man dann auch sagen, ob die Funktion \(f\) stetig ist.