Aufgabe:
Aufgabe 22: \( \quad(2+2+2 \) Punkte \( ) \)
Sei \( G:=\mathbb{C} \backslash\{\mathrm{i} y: y \in \mathbb{R},|y| \geq 1\} \). Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau eine auf \( G \) holomorphe Funktion \( A \) mit \( A(x)=\arctan (x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Diese nennt man auch Hauptzweig des Arcustangens.
(b) Für alle \( w \in \mathbb{C} \) mit \( |\operatorname{Re}(w)|<\frac{\pi}{2} \) gilt \( A(\tan (w))=w \).
(c) Für alle \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|<1 \) gilt
\(
A(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} z^{2 n+1} (HIER STEHT DER ARCTAN als Potenzsumme)
\)
Problem/Ansatz:
Als Hinweis soll man den Tangens als exponentialfnkt darstellen, oder Mithilfe des Identitätssatzes und das Wissen der Arcustangensfunktion argumentieren
