Stetigkeit der gegebenen Funktionen beweisen/zeigen

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition des Funktionsgrenzwertes, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$f(x)=2+x \sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}}$

in $x_{0}=0$ nicht stetig ergänzt werden kann.

(b) Zeigen Sie mit dem $\varepsilon-\delta$-Kriterium der Stetigkeit, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

in $x_{0}=0$ stetig ist. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass die Ungleichung $\sqrt{x^{2}+1}-1 \leq \sqrt{x^{2}}$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

(c) Zeigen Sie mit dem $\varepsilon-\delta$-Kriterium der Stetigkeit, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & , \quad x<0 \\ x-1 & , \quad x \geq 0 \end{array}\right.$

in $x_{0}=0$ nicht stetig ist.