Stetigkeit einer Funktion beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion f : R → R, f(x) := |x| in allen
Punkten x0 ∈ R mit Mitteln Ihrer Wahl

Problem/Ansatz:

Hi,

in 2 Wochen ist die Klausur und ich kann diese Aufgabe leider nicht lösen. BIn euch dankbar für jede hilfreiche Antwort:)

LG

Answer 1

Für x>0 stimmt die Funktion mit der Identitätsfunktion überein,

ist dort also überall stetig. Entsprechend für x<0 Übereinstimmung

mit - id.

Bleibt zu zeigen die Stetigkeit bei xo = 0.

Sei (xn)n∈ℕ eine Folge mit Grenzwert 0, dann ist auch

(|xn|)n∈ℕ eine Folge mit Grenzwert 0. Also hat die

Folge der Funktionswerte den Grenzwert f(xo)=|0|=0.

Somit f dort stetig nach dem Folgenkriterium.