M Teilmenge R eine nach unten beschränkte Menge mit inf (M) >0 und M´ = {x:1/x Element M} sup(M´)=1/Inf(M)

Question

Sei M Teilmenge der reellen Zahlen eine nach unten beschränkte Menge mit inf (M) >0 und M´ = {x:1/x Element M} sup(M´)=1/Inf(M)

Answer 1

Sei M Teilmenge der reellen Zahlen eine nach unten beschränkte Menge mit inf (M) > 0

und M´ = {x:1/x Element M}

Beh.: sup(M´)=1/Inf(M)

Da inf(M) > 0 und für alle y∈M gilt  y≥ inf(M) 

==>   Für alle y∈M  ist  y > 0 .

Sei nun x∈M ' .  ==>   1/x ∈ M, also   1/x > 0 also auch x>0.

und    1 /x > inf(M)  | *x 

==>    1 > x*inf(M)   | : inf(M)  (geht, weil > 0 ) 

==>  1 / inf(M) > x 

Also gilt für alle x ∈M '     1 / inf(M) > x , damit 

ist   1 / inf(M)  eine obere Schranke für M ' .

Bleibt zu zeigen, dass es die kleinste obere Schranke ist.

Angenommen, es gäbe eine kleinere obere Schranke   m  < 1/inf(M),

Und m > 0 gilt auch, da m obere Schranke ist und die Elemente alle positiv.

dann würde auch hier für alle  x ∈M '   gelten 

                                                     x ≤ m   | :m

                                         x/m ≤   1    | :x

                                              1/m ≤   1 /x 

also wäre 1/m eine untere Schranke für M im Widerspruch 

zu   1/m > inf(M) , was aus   m  < 1/inf(M) folgt.

                                               q.e.d.