Sei an eine beschränkte Folge in R
==> Es gibt u,v ∈ ℝ u≤ an ≤ v für alle n∈ℕ.
==> sup{ak: k≥n} ≤ v denn v ist eine obere
Schranke für {ak: k≥n}, da es eine obere Schranke für die
Menge aller Folgenglieder ist. Und jede obere Schranke
ist immer größer oder gleich dem Supremum einer
Menge, denn das Supremum ist ja die
kleinste obere Schranke.
Entsprechend auch für die unteren Schranken .
2) Angenommen i≤s heißt doch:
Für alle n∈ℕ gilt in ≤ sn .
Angenommen, das sei falsch, dann gäbe es ein n∈ℕ
mit in > sn .
==> inf{ak: k≥n} > sup{ak: k≥n} .
Es gibt aber keine nichtleeren Teilmengen von ℝ, bei denen
das Infimum größer als das Supremum ist.
