Wie zeige ich, dass wir zwei beschränkte Folgen haben?

Question

Aufgabe:

Sei a_n eine beschränkte Folge in R wir haben weiter die Folgen s_n = sup{a_k: k≥n} und und i_n =inf{a_k: k≥n}.

mit n∈ℕ

Problem/Ansatz:

1) Wie zeige ich, dass s und i beschränkte folgen sind?

2) Warum i≤s gilt.

Kann uns hier jemand bitte weiterhelfen?

Dankeschön:)

Comments

Vielen lieben Dank für deine Mühen!!

Kannst du uns noch zeigen, warum sn eine monoton fallende Folge ist?

Das wäre, mega :)

Answer 1

Sei an eine beschränkte Folge in R

==>   Es gibt u,v ∈ ℝ   u≤ a_n ≤ v für alle n∈ℕ.

==>   sup{a_k: k≥n} ≤ v  denn v ist eine obere

Schranke für {ak: k≥n}, da es eine obere Schranke für die

Menge aller Folgenglieder ist.  Und jede obere Schranke

ist immer größer oder gleich dem Supremum einer

Menge, denn das Supremum ist ja die

kleinste obere Schranke.

Entsprechend auch für die unteren Schranken .

2) Angenommen i≤s heißt doch:

Für alle n∈ℕ gilt i_n ≤ s_n .

Angenommen, das sei falsch, dann gäbe es ein n∈ℕ

mit    i_n > s_n .

==>  inf{ak: k≥n} >    sup{ak: k≥n} .

Es gibt aber keine nichtleeren Teilmengen von ℝ, bei denen

das Infimum größer als das Supremum ist.

Comments

Vielen lieben Dank für deine Mühen!!

Kannst du uns noch zeigen, warum sn eine monoton fallende Folge ist?
Das wäre, mega :)

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s_n und s_n+1 sind Suprema von Mengen.

Dabei ist die 2. eine Teilmenge der ersten,

also ihr Supremum kleiner oder gleich dem der 1.

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Danke!

Nur können wir uns sn+1 nicht vorstellen, wie sieht die konkrete Menge aus?

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Betrachte z.B die beschränkte Folge

n:      1    2     3      4         5       6      7        8  .....

a_n:   -1 ; 1/2 , -1/2 ; 1/3 ; -1/3 ; 1/4 ; -1/4     1/5  etc.

Dann ist z.B s₄ =  sup{a_k: k≥4}  also

sup( { 1/3 ; -1/3 ; 1/4 ; -1/4  ;  1/5 ; .... }) = 1/3

und s₅ ( also quasi s_n+1 wenn n=4 ist ) ist dann

sup( { -1/3 ; 1/4 ; -1/4  ;  1/5 ; .... }) = 1/4  das Sup einer Menge mit

einem Element weniger. Das kann also nie größer sein, als

das vorherige, höchsten kleiner oder gleich.

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Wahnsinnig, danke!