Konstruktion zweier monotoner Folgen eines Beweises für folgenden Satz

Question

Konstruktion zweier Folgen eines Beweises für folgenden Satz

Aufgabe:

Wie schon im Titel erwähnt geht es im Beweis zum Satz (ein Ausschnitt) um die Konstruktion zweier Folgen:

Satz. Sei A⊆ℝ nicht leer und beschränkt. Dann gilt: Es gibt in A eine monoton fallende Folge (a_n) und eine monoton wachsende Folge (b_n) mit lim a_n = inf(A) und lim b_n = sup(A).

Problem/Ansatz:

Intuitiv ist mir klar, was getan werden muss, um obigen Satz zu zeigen. Ich nehme mir eine monoton wachsende Folge (b_n) und eine monoton fallende Schrankenfolge (S_n), welche sich denselben Grenzwert annähern, um so sicher zu stellen, dass (b_n) wirklich nach oben beschränkt ist und ich lim b_n = sup(A) erhalte. Analog für lim a_n.

Nun zum Beweis (-Ausschnitt), den ich dazu vorliegen habe:

$$ \text{Wähle eine obere Schranke }S_0. \text{ Wegen } A\neq \{\},\text{ gibt es ein } b_0\in A,\\\text{und man wählt ein solches. Dann ist offensichtlich } b_0 \leq S_0. $$

Bis hier hin ist noch alles klar. Aber folgende Konstruktion treibt mich in den Wahnsinn:

$$ \text{Definiere zwei Folgen }(b_n) \text{ und } (S_n) \text{ rekursiv wie folgt: Man bildet}\\x_n=\frac{b_n+S_n}{2}\\\text{und definiert }\\ S_{n+1}:=\begin{cases}x_n,\quad \text{falls } x_n \text{ eine obere Schranke von A ist,}\\S_n,\quad \text{sonst.} \end{cases} $$

Warum wird S_n+1 so definiert?

$$ \text{Für den ersten Fall setzt man } b_{n+1}:=b_n. $$

Warum?

$$ \text{Im zweiten Fall gibt es ein }a\in A \text{ mit }x_n<a\leq S_n, \text{und man wählt ein solches als} b_{n+1}:\\x_n<b_{n+1}\leq S_n.\\\text{Dann sind alle }b_n\in A \text{ und }S_n\text{ obere Schranken von A.}\\\text{ Nach Konstruktion ist }(b_n) \text{ monoton wachsend und } (S_n) \text{ monoton fallend.}$$

Warum bekomme ich so ein a und weshalb besitzen dann (b_n) und (S_n) diese oben genannten Monotonie-Eigenschaften?

Comments

Ich nehme mir eine monoton wachsende Folge (bn) und eine monoton fallende Schrankenfolge (Sn)

Warum muss die Schrankenfogle monoton fallend sein?

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Man schreibt zwar formal, dass \(\sup A :=\infty\) falls \(A\) nicht nach oben beschränkt und \(\inf A :=-\infty\), falls A nicht nach unten beschränkt, das sind aber lediglich formale Schreibweisen. Die Zahlen \(\sup A\) und \(\inf A\) exisiteren in diesen Fällen nicht.

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Warum muss die Schrankenfolge monoton fallend sein?

Das bracuht man, um an lim b_n = sup(A) zu kommen.

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Fallunterscheidung nach Mächtigkeit von A (unendlich bzw. endlich) braucht es vermutlich nicht. Oder?

Fraglich für mich in:

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@ Lu. Nein, es wird nicht zwischen endlich und unendlich für die Mächtigkeit von A unterscheiden. A wurde eben als nichtleere Teilmenge von ℝ angegeben, wobei A hier sogar noch als beschränkt betrachtet wird.

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Heisst das, du zitierst einen Beweis, den du nicht verstehst?

und möchtest ihn erklärt haben?

Prinzipiell ist auch eine konstante Folge monoton. Aber mit diesem Mittelwert, kannst du mE auch in eine Lücke von A geraten.

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hier stand etwas falsches

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Ja, das ist ein Beweis, aus einem Skript, genauer gesagt, wenn du den kompletten Beweis sehen willst schaue in das Ferus-Skript Analysis 1:

http://page.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana1.pdf

Siehe Seite 53, Satz93.

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Danke für die Info.

Answer 1

Für den ersten Fall setzt man bn+1:=bn.
Für den ersten Fall setzt man
bn+1:=bn


Warum?

Man pausiert die monoton steigende Folge bei bn und hat die obere Schranke näher an bn verschieben können.

Im zweiten Fall, kann die monoton steigende Folge weiter steigen. Das tut man, indem man ein bn+1 (das existieren muss) wählt. Also bn+1 einfach grösser als xn wählen und dafür die Schrankenfolge "pausieren".

Comments

Aber warum kann aus der Konstruktion gefolgert werden, dass (b_n) monoton steigend bzw., (S_n) monoton fallend ist? Ich sehe es dieser Konstruktion überhaupt nicht an.

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Das ist im Prinzip das Bisektionsverfahren.

Einziger Unterschied. xn kann man sicher obere Schranke nehmen, wenn xn das ist.

Wenn xn aber zwischen zwei Punkten von A liegt, gibt es rechts davon noch einen weiteren Punkt in A. So einen wählt man.

"monoton" bedeutet nicht "streng monoton". Pausieren geht auch.

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Was monoton und streng monoton ist, weiß ich.

Leider kapiere ich (immer noch) nicht, warum Monotonie vorliegt.

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Ich weiss jetzt nicht, wo anfangen.

Verstehst du, dass hier https://mathepedia.de/Bisektionsverfahren.html

oder hier

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Differentialrechnung/Folien_Bisektionsverfahren.pdf

oder

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Beispiel

zwei monotone Folgen (Die Intervallgrenzen) aufeinander zulaufen?

Gib am besten den Link an, den du am verständlichsten findest.

Alternative wäre vielleicht noch, dass du begreifst, wie hier https://www.matheretter.de/wiki/heron-verfahren zwei monotone Folgen entstehen, die aufeinander zu laufen.

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Der letzte Link war ganz gut, zum Einsehen, dass man zwei konvergente Folgen hat, die gegen die Lösung also gegen √a konvergieren.

Answer 2

Warum bekomme ich so ein a

Es genügt, ein \(a\in A\) mit \(x_n<a\) zu finden, denn \(a\le S_n\) folgt dann automatisch daraus, dass \(S_n\) eine obere Schranke von \(A\) ist.

Angenommen es gibt kein \(a\in A\) mit \(x_n<a\). Dann ist für alle \(a\in A\) jeweils \(x_n\ge a\). Also ist \(x_n\) eine obere Schranke von \(A\) im Widerspruch zum Vorliegen des zweiten Falls.

weshalb besitzen dann (bn) und (Sn) diese oben genannten Monotonie-Eigenschaften?

Zu zeigen ist \(b_n\le b_{n+1}\) bzw. \(S_n\ge S_{n+1}\) für alle \(n\in\mathbb{N}_0\).

In den Fällen, in denen \(b_{n+1}:=b_n\) bzw. \(S_{n+1}:=S_n\) gewählt wird, ist dies klar.

Bleiben noch die Fälle der Wahlen \(b_{n+1}>x_n\) bzw. \(S_{n+1}:=x_n\) zu bearbeiten.

Mithilfe von \(b_n\le S_n\) und der Definition von \(x_n\) als Mittelwert von \(b_n\) und \(S_n\) überlegt man sich, dass stets \(b_n\le x_n\le S_n\) gilt.

Somit erhalten wir in den Fällen \(b_{n+1}>x_n\) bzw. \(S_{n+1}:=x_n\) die Ungleichungsketten \(S_{n+1}=x_n\le S_n\) bzw. \(b_{n+1}>x_n\ge b_n\) und damit das zu Zeigende.

Answer 3

Ich versuche das mal anhand der konkreten Folgenglieder zu erklären.

(1) Es gilt \( b_0 \le x_0 \le S_0 \) weil \( b_0 \) und \( S_0 \) so gewählt wurden und \( x_0 \) das arithmetische Mittel der beiden Werte ist.

(2) Fall 1: \( x_0 \) ist obere Schranke dann gilt \( b_1 = b_0 \) und \( S_1 =x_0 \) also insgesamt \( b_0 \le b_1 \le x_1 \le S_1 \le S_0 \)

(2) Fall 2: \( x_0 \) ist keine obere Schranke, dann gibt es ein \( a \) mit \( x_0 < a \in A \le S_0 \) weil ja \( x_0 \) keine obere Schranke ist aber \( S_0 \), also muss es zwischen diesen beiden Werten noch andere Werte  aus \( A \) geben. Hier gilt dann \(b_1 = a \) und \( S_1 = S_0 \). Insgesamt ergibt sich auch hier \( b_0 \le b_1 \le x_1 \le S_1 \le S_0 \)

Damit hat man für die \( b_1\), \( x_1 \) und \( S_1 \) die gleiche Ausgangssituation wie bei (1) und man kann die nächsten Folgenglieder berechnen. Man sieht ausserdem das die Folge \( b_n \) monoton wächst und die Folge \( S_n \) monoton fällt.