beschränkte Menge Schränken imaginäre Zahlen

Question

Aufgabe:

: (Supremum) Seien A, B ⊂ R nach oben beschränkte Mengen. Zeigen Sie die
folgenden Aussagen:
(a) sup(A) + sup(B) = sup{a + b | a ∈ A, b ∈ B}
(b) − sup(A) = inf{−a | a ∈ A}

Problem/Ansatz:

Hallo wie berechne ich diese Aufgabe handelt es sich dabei um kleinste oberste und größere untere schranke :)

Bitte helfen siue mir dabei

Answer 1

Ich glaube (b) ist einfacher:

Sei A ⊂ ℝ nach oben beschränkt und  s = sup(A).

==>    Für alle a∈A gilt   a ≤ s  | *(-1)

                   ==>  -a ≥ -s .

Also ist -s eine untere Schranke für  A ' = {−a | a ∈ A}.

Bleibt zu zeigen, dass es die größte untere Schranke für A ' ist.

Angenommen es sei b eine größere untere Schranke als -s,

       also  b > -s  ==>   -b < s          #

Und b untere Schranke ==>    Für alle a∈A'  gilt   b ≤ a

      ==>     -b ≥ -a

Für a∈A' gilt aber -a∈A, also folgt

    -b ist eine obere Schranke für A

und   -b <  s    ( siehe # ) .

Also wäre -b eine kleinere obere Schranke für A als s.

Im Widerspruch zu: s ist die kleinste obere Schranke für A .

Bei (a) versuche mal ähnlich einen Widerspruch zu konstruieren,

wenn man annimmt es gäbe eine kleinere obere Schranke als

sup(A) + sup(B).

Vielleicht hilft ja, denn was rechts steht ist ja A+B.

https://www.mathelounge.de/391906/supremum-von-summe-zeige-sup-a-b-sup-a-sup-b