Bestimmen sie den Grenzwert folgender Reihe:

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie den Grenzwert folgender Reihe:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{3})^{n}$$

Problem/Ansatz:

Da es sich um eine geometrische Reihe handelt, ist der Grenzwert doch $$\frac{1}{1-\frac{i}{3}}$$. Mein Problem ist es nun zu beweisen, dass die Reihe konvergiert, denn ansonsten kann man das natürlich nicht anwenden. Quotientenkriterium und Wurzelkriterium sind schon gescheitert und irgendwie schein da der Wurm drinnen zu sein. Wäre sehr dankbar über Hilfe.

Comments

Quotientenkriterium und Wurzelkriterium sind schon gescheitert

Das kann nicht sein, dann machst Du einen wesentlichen Fehler

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass \(i\) hier die imaginäre Einheit ist.

Für das Anwenden der geometrischen Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty}z^k =\frac 1{1-z}\) ist nur erforderlich, das \(|z| <1\).

Nun gilt \(\left|\frac i3\right|= \frac 13< 1\), da \(|i|=1\). Du bist also fertig und brauchst nur noch dein Ergebnis vereinfachen (wenn du möchtest).