Berechnen Sie den Grenzwert von folgender Reihe: Σ (für i=1) mit (2^{i-1} +1) / 3^i

Question

Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe Σ (für i=1) mit (2^{i-1} +1) / 3^i

Wie würdet Ihr das machen?

Comments

Erst mal richtig hinschreiben:

$$\sum_{ i=1}^\infty \,\,\, \frac{ 2 i-1 +1 }{3 i}$$

oder so ähnlich ?

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Erst mal richtig aufschreiben:
$$ \sum_{i=1}^{}{\frac { 2^{i-1}+1 }{ 3^i }} $$

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ein guter anfang :) weißt du auch wies weitergeht?

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Nein, warum sollte ich? Ich würde auch erst dann drüber nachdenken, wenn die Richtigkeit der Darstellung bestätigt wurde...

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schade :)

kann uns vielleicht sonst jemand helfen?

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Wer ist "uns"? Vielleicht solltest Du zunächst mal bestätigen, ob meine Darstellung der Reihe nun richtig ist oder nicht!

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die darstellung ist richtig, ja!

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Ok, dann sind wir ja schon mal einen kleinen Schritt weiter! :-)
Vielleicht können wir uns aus der gegebenen Reihe zwei geometrische Reihen basteln?

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Okay, vielen Dank schonmal für deine Zeit. Mir fehlt hier ein bisschen die Übung. Hilft es mir weiter, wenn ich erst einmal ₂^i-1 umschreibe, sodass im Zähler 2ⁱ bleibt und in den Nenner die 2¹  schreibe? ∑i=12i−1+13i

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dann würde ich rausbekommen:

∑=2ⁱ / (2¹) 3ⁱ    = (1/3) ⁱ für die erste geometrische Reihe?

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Steht denn über dem Summenzeichen noch ein Unendlich? Oder: Bis wohin geht i?

Im Resultat sollte eigentlich das i nicht mehr vorkommen.

Mach besser ein Bild deiner Rechnung und stelle deine Rechnung möglichst gut dar.

Answer 1

Σ (für i=1) mit (2^i-1 +1) / 3ⁱ

⁼ Σ (für i=1) von 2^i-1 / 3ⁱ + Σ (für i=1) von 1/ 3ⁱ

⁼ 1/2 * Σ (für i=1) von (2 / 3)ⁱ + Σ (für i=1) von (1/ 3)ⁱ

Jetzt hast du in den Summen 2 geometrische Reihen. Du musst aber wissen bis wohin i läuft.

Suche dann mal die dafür Formeln für geometrische Reihen und setze ein. 

Comments

Also ich bekomme jetzt diese zwei geometrischen Reihen raus und für die erste Reihe ein Ergebnis von 3/2. Aber bei der zweiten Reihe komme ich nicht auf die passende Umformung. Stimmt das denn so?

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Hi, \(2 \cdot 3^i \ne 6^i \).

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oh, danke dir!

also ich klammere die zwei im Nenner aus und bekomme dann 1/2 * Σ (2/3)ⁱ = 2.

Aber wie verfahre ich mit der zweiten Reihe, die ich so bekomme?

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Die Summe der ersten Reihe ist noch nicht richtig.

Beachte den Startindex!

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habe den Startindex in die gesamte Reihe eingesetzt, nun bekomme ich:

a₀ = 1/2 * (2/3)¹ = 1/3

S= 1/3 * 3/1 = 1

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Das ist auch mein Ergebnis für die erste reiehe, was du nun genau gemacht hast, ist mir allerdings nicht ganz klar.

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Also eine Rechnung war folgende. Ich finde doch a0 indem ich den ersten Index (1) in die Reihe einsetze?  

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Aha, ok. Nun die andere Reihe, die geht im Prinzip genau so.

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ich bringe das irgendwie nicht in die form einer geometrischen reihe..

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Oh! Verwende
$$\frac{1}{3^i} = \left(\frac 13 \right)^i.$$

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okay, potenzgesetze sind nicht so meins .. Σ 1/ 3ⁱ =Σ(1/3)ⁱ also bekomme ich S_{2 = 1/2}

und Σ₁  + Σ₂ = 3/2

richtig?

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^{Das bekomme ich auch:}

 1/2 * Σ (für i=1) von (2 / 3)ⁱ + Σ (für i=1) von (1/ 3)ⁱ

= 1/2 * 2/3 * 1/(1 - 2/3)  + 1/3 * 1/(1-1/3)

=1/3 * 3/1 + 1/3 * 3/2

= 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5

Answer 2

Berechne zwei geometrische Reihen und Du erhältst als Ergebnis \(  \frac{3}{2} \), vorausgesetzt, die Summe geht bis \(  \infty \)

Comments

erhältst

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Du schon wieder?

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Wahrscheinlich war hier vom Gast die Rechtschreibung gemeint. "erhältst" → "erhälTst". Den Fehler habe ich auch immer gemacht :) vgl. Video hier.

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Ja ja, das ist schon klar. Er sucht sytematisch danach. Ist ja auch ein wenig lustig.