Grenzwert bestimmen. Reihe: Σ ((1-i)/(2(1+i))^{n-1} von n=1 bis ∞

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-i}{2(1+i)}\right)^{n-1} \)

Σ ((1-i)/(2(1+i))^{n-1} von n=1 bis ∞

Mit welchem Kriterium arbeitet man hier? Oder woran erkennt ihr sowas sofort?

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

(   Z )^{n-1}

Summiere ab n=0. Dann hast du

( Z)^n

Ausserdem sieht man, dass |Z| = 1/2 < 1.

Verwende daher mal die Formel für geometrische Reihen mit q= Z und a0= 1.

Kontrolliere dann noch im Skript, ob diese Formel auch in ℂ gilt.

Comments

ok der tipp mit der indexverschiebung war super.

das habe ich gemacht und danach mit der fomel 1/1-q während q der term ohne hoch n ist, gelöst.

am ende bekomme ich 4/5 -2i/5 raus

vielen dank

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Bitte. Gern geschehen und sehr gut gemacht!

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Σ+%28%281-i%29%2F%282%281%2Bi%29%29%29%5E%28n-1%29++from+n%3D1+to+n%3D+∞

EDIT: Klammerung korrigiert.

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genau dort habe ich es auch nachkontrolliert.

nein - richtig lautet es so: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3+%28%28%281-i%29%2F%282%281%2Bi%29%29%29^%28n-1%29++from+n%3D1+to+n%3D+%E2%88%9E

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Noch eine frage zu dieser aufgabe:

\( \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty}(1+\sqrt{\pi})\left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^{k+1}\right) \)

Kann ich hier auch einfach eine indexverschiebung machen, damit ich oben nur k stehen hab und dann das wurzelkriterium anwenden, damit das k ganz weg ist?

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Ich würde (1+√π)(1-1/√π) vor das Summenzeichen schreiben. Dann hat man ja wieder eine geometrische Reihe mit hoch k.

Mit dem Kriterium kannst du doch nur die Konvergenz beweisen aber nicht das Resultat. Oder?

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hä? was bleibt mir denn stehen wenn ich das vor dem summenzeichen hab?

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(1-1/√π)^k nach dem Summenzeichen.

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ok dann habe ich am ende (√π)/-1 oder?

und was bedeutet das wenn man etwas vor dem summenzeichen hat? das hab ich noch nicht gehabt/gebraucht^^

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Man verwendet da das Distributivgesetz. D.h. man klammert aus.

Du kannst aber einfach (1+√π)(1-1/√π) als ao ansehen.

ok dann habe ich am ende (√π)/-1 oder?

Wie meinst du das jetzt?

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Aah ok :) So oder?

\( \frac{1}{1-q} \) wobei \( q=\frac{\sqrt{\pi}-1}{\sqrt{\pi}} \) ist oder?

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Ja. Und dann das Resultat noch mal das Ausgeklammerte.

ok dann habe ich am ende (√π)/-1 oder? 

Wie meinst du das jetzt? Das wäre ja einfach -√π.

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gut dann hab ich am ende eine negative zahl, wobei hier die gleiche zahl positiv ist:

in jedem fall schon mal ein fettes dankeschön ;)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2Bsqrtpi%29*%281-%281%2Fsqrtpi%29%29^%28k%29+k%3D1+to+infinity

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Bitte. Gern geschehen. Vielleicht musst du einfach den Bruchstrich weglassen, den du oben hingeschrieben hattest.

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welchen meinst du?

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Na den hier, der mich die ganze Zeit wundert:

ok dann habe ich am ende (√π)/-1 oder?  

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ja des is ja am ende -√pi :)

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es gibt nur einen punkt, den ich eigentlich nicht ganz verstanden habe. oben wo du (1+√π)(1-1/√π) vor das Summenzeichen geschrieben hast.. warum bleibt dann (1-1/√π) noch nach dem summenzeichen stehen? durch das hoch k oder wie?

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Potenzgesetz

5^3 * 5^1 = 5^{3+1} klar?

 (1-1/√π)^1 (1-1/√π)^k =  (1-1/√π) ^{k+1}  

(1-1/√π)¹ darf dann nur vor oder nach dem Sigma stehen - nicht doppelt!

(1-1/√π)^k  gehört zwingend hinter das Sigma.

Anmerkung: Warum die blaue Schrift kleiner ist, weiss ich nicht. 

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achsoo ja klar ^^ ich dachte die ganze zeit dass wir MIT der indexverschiebung rechnen, dann wäre ja das +1 weg hahah :D danke !

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Kann ich beim Beweisen der Konvergenz für diese Aufgabe sagen:

\( \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{k}}\right)^{k}\right) \)

\( \lim \limits_{k \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{k}}\right)=\frac{1}{2} \)?

Oder reicht das nicht?

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Hast du das denn bei Wolframalpha kontrolliert?

Hier führt der Trick wohl über die Definition der Eulerschen Zahl e oder der Exponentialfunktion.

Google mal beides bei Wikipedia.

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ok werd ich beachten danke.

ich kann doch aber auch das ganze in einem bruch zusammenschreiben, das wurzelkriterium benutzen und dann komme ich doch auch bei 1/2 raus ?!

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Das Kriterium sagt dir aber nur, dass die Reihe konvergiert und nicht, was der Grenzwert ist. Brauchst du den nicht?