Aufgabe:
Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
∑n=1∞(1−i2(1+i))n−1 \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-i}{2(1+i)}\right)^{n-1} n=1∑∞(2(1+i)1−i)n−1
Σ ((1-i)/(2(1+i))n-1 von n=1 bis ∞
Mit welchem Kriterium arbeitet man hier? Oder woran erkennt ihr sowas sofort?
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
( Z )n-1
Summiere ab n=0. Dann hast du
( Z)n
Ausserdem sieht man, dass |Z| = 1/2 < 1.
Verwende daher mal die Formel für geometrische Reihen mit q= Z und a0= 1.
Kontrolliere dann noch im Skript, ob diese Formel auch in ℂ gilt.
ok der tipp mit der indexverschiebung war super.
das habe ich gemacht und danach mit der fomel 1/1-q während q der term ohne hoch n ist, gelöst.
am ende bekomme ich 4/5 -2i/5 raus
vielen dank
Bitte. Gern geschehen und sehr gut gemacht!
Zur Kontrolle:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Σ+%28%281-i%29%2F%282%281%2Bi%…
EDIT: Klammerung korrigiert.
genau dort habe ich es auch nachkontrolliert.
nein - richtig lautet es so: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3+%28%28%281-i%29%2F%282%…
Noch eine frage zu dieser aufgabe:
(∑k=0∞(1+π)(1−1π)k+1) \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty}(1+\sqrt{\pi})\left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^{k+1}\right) (k=0∑∞(1+π)(1−π1)k+1)
Kann ich hier auch einfach eine indexverschiebung machen, damit ich oben nur k stehen hab und dann das wurzelkriterium anwenden, damit das k ganz weg ist?
Ich würde (1+√π)(1-1/√π) vor das Summenzeichen schreiben. Dann hat man ja wieder eine geometrische Reihe mit hoch k.
Mit dem Kriterium kannst du doch nur die Konvergenz beweisen aber nicht das Resultat. Oder?
hä? was bleibt mir denn stehen wenn ich das vor dem summenzeichen hab?
(1-1/√π)k nach dem Summenzeichen.
ok dann habe ich am ende (√π)/-1 oder?
und was bedeutet das wenn man etwas vor dem summenzeichen hat? das hab ich noch nicht gehabt/gebraucht^^
Man verwendet da das Distributivgesetz. D.h. man klammert aus.
Du kannst aber einfach (1+√π)(1-1/√π) als ao ansehen.
Wie meinst du das jetzt?
Aah ok :) So oder?
11−q \frac{1}{1-q} 1−q1 wobei q=π−1π q=\frac{\sqrt{\pi}-1}{\sqrt{\pi}} q=ππ−1 ist oder?
Ja. Und dann das Resultat noch mal das Ausgeklammerte.
Wie meinst du das jetzt? Das wäre ja einfach -√π.
gut dann hab ich am ende eine negative zahl, wobei hier die gleiche zahl positiv ist:
in jedem fall schon mal ein fettes dankeschön ;)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2Bsqrtpi%29*%281-%281…
Bitte. Gern geschehen. Vielleicht musst du einfach den Bruchstrich weglassen, den du oben hingeschrieben hattest.
welchen meinst du?
Na den hier, der mich die ganze Zeit wundert:
ja des is ja am ende -√pi :)
Potenzgesetz
53 * 51 = 53+1 klar?
(1-1/√π)1 (1-1/√π)k = (1-1/√π) k+1
(1-1/√π)1 darf dann nur vor oder nach dem Sigma stehen - nicht doppelt!
(1-1/√π)k gehört zwingend hinter das Sigma.
Anmerkung: Warum die blaue Schrift kleiner ist, weiss ich nicht.
achsoo ja klar ^^ ich dachte die ganze zeit dass wir MIT der indexverschiebung rechnen, dann wäre ja das +1 weg hahah :D danke !
Kann ich beim Beweisen der Konvergenz für diese Aufgabe sagen:
(∑k=0∞(12+1k)k) \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{k}}\right)^{k}\right) (k=0∑∞(21+k1)k)
limk→±∞(12+1k)=12 \lim \limits_{k \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{k}}\right)=\frac{1}{2} k→±∞lim(21+k1)=21?
Oder reicht das nicht?
Hast du das denn bei Wolframalpha kontrolliert?
Hier führt der Trick wohl über die Definition der Eulerschen Zahl e oder der Exponentialfunktion.
Google mal beides bei Wikipedia.
Neue Fragen bitte als neue Fragen eingeben. Da haben auch noch andere die Chance Punkte zu bekommen für Antworten.
ok werd ich beachten danke.
ich kann doch aber auch das ganze in einem bruch zusammenschreiben, das wurzelkriterium benutzen und dann komme ich doch auch bei 1/2 raus ?!
Das Kriterium sagt dir aber nur, dass die Reihe konvergiert und nicht, was der Grenzwert ist. Brauchst du den nicht?
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
