Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) Für alle \( \varepsilon>0 \) existiert ein \( n \in \mathbb{N} \) mit \( \varepsilon>\frac{1}{n} \).
(ii) Für alle \( a \in \mathbb{R} \) existiert genau ein \( k \in \mathbb{Z} \) mit \( k \leq a<k+1 \).
(iii) Für beliebige \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) existiert ein \( q \in \mathbb{Q} \) mit \( a<q<b \).
(iv) Zu jedem \( a \in \mathbb{R} \) existiert eine Folge \( \left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{Q} \) mit
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} q_{n}=a \)
Problem/Ansatz:
Ich verstehe das schon irgendwie, nur erkenne ich nicht den Zusammenhang der Aussagen und kann auch die Aussagen beweisen.
