Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent

Question

Sei K ein Körper, sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und
sei f : V × V → k eine Bilinearform. Man nennt die Bilinearform f nicht-entartet, falls die
Abbildung

h(f): V → Hom(V, K), v → (w → f(v, w))

ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent
sind:

(i) Die Bilinearform f ist nicht-entartet.
(ii) Gilt f(v, w) = 0 für alle w ∈ V , so folgt v = 0.
(iii) Es existiert eine Basis v₁, . . . , v_n von V , sodass die zu f assiziierte Matrix (f(v_i, vj))1≤i,j≤n
invertierbar ist.
(iv) Für jede Basis v₁, . . . , v_n von V ist die zu f assoziierte Matrix (f(v_i, v_j))1≤i,j≤n invertierbar.