Kanonischer Isomorphismus BiFo(V) ≅ HomK(V, V*)

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Geben Sie einen kanonischen Isomorphismus
BiFo(V) ≅ Hom_K(V, V^∗) an.

Problem/Ansatz:

BiFo(V) = die Menge der Bilinearformen auf V

HomK(V, V∗) = die Menge aller Homomorphismus von V nach V*

V* = Hom_K(V, K) Dualraum

Answer 1

Ein f ∈ BiFo(V) ist ja eine bilineare Abbildung

von VxV nach K.

Einer solchen muss du einen Homomorphismus von V nach V*

zuordnen, dabei ist ja V* selber die Menge der Hom von V nach K.

Betrachte dann doch zu dem f ∈ BiFo(V) die Abbildung, die

jedem v∈V den Hom. zuordnet, der durch festhalten der

1. Komponente von f entsteht. Also wäre der gesuchte

Isomorphismus k:  BiFo(V) → HomK(V, V∗)

                          k(f) = h : V → V* mit h(v)=f(v,x).

                                                 wobei ja f(v,x):V→K wegen der
                                                 Bilinearität von f ein Hom. ist.

injektiv wird man wohl über Kern(k)=0_BiFo(V) zeigen kann und

wenn ihr die Gleichheit der Dimensionen schon gezeigt habt,

würde das ja genügen.