Ich muss folgende mit folgende Aufgabe bearbeiten. Ich komme leider nicht weiter, da ich nicht sehe wie die einzelnen Informationen mit einander verbunden sind.
Aufgabe:
$$\text{Seien } V,U \text{ endlich dimensionale K-Vektorräume und seien } f:V\longrightarrow W \text{ und } g: U\longrightarrow V \text{ lineare Abbildungen} \\[10pt] \text{ Zu zeigen:} \\\text{ a) } \text{dim Ker} (f\circ g) \leq \text{dim Ker }f + \text{ dim Ker } g \\\text{ b) } \text{dim Im} (f\circ g) \leq min\{\text{dim Im }f , \text{ dim Im } g\}$$
Problem/Ansatz:
a) Ich habe folgendes aufgeschrieben. Ist mein Beweis nachvollziehbar?
$$\text{ Da }f:V\longrightarrow W \land g: U\longrightarrow V \Longrightarrow f\circ g: U \longrightarrow W : \text{ ker}( f\circ g) = g^{-1}(\text{ker }f) \\[10pt]\text{ Sei } U= g^{-1}(\text{ker }f) \Longrightarrow \text{ ist ein Unterraum von } U \land g(U') \subseteq \text{ ker }f \text{ ,wobei } \text{ker } g\subseteq U' \\\Longrightarrow \{\text{dim } U = \text{dim}(\text{ker }g)+\text{dim}(g(U'))\} \land \{\text{dim}(g(U'))=\text{dim}(\text{ker }f|_{g(U')})+\text{dim} (f(g(U'))\} \\[10pt]\text{ Da } \{U'=\text{ker}(f\circ g)\} \land \{\text{dim}(f(g(U'))=0 \}\land \{\text{dim} (f(g(U'))= \text{dim}(\text{ker }f \cap g(U')) \leq \text{dim ker}f\} \\\Longrightarrow \text{dim Ker} (f\circ g) \leq \text{dim Ker }f + \text{ dim Ker } g$$
b) Ich verstehe leider nicht, wie ich hier vorgehen soll. Wenn ich es richtig verstanden habe soll ich also:
$$\text{ b) } \text{dim Im} (f\circ g) \leq min\{\text{dim Im }f , \text{ dim Im } g\} \\\text{ Da }f:V\longrightarrow W \land g: U\longrightarrow V \Longrightarrow f\circ g: U \longrightarrow W : \text{ Im}( f\circ g) = g^{-1}(\text{Im }f) \\\text{ Zu zeigen: } g^{-1}(\text{Im }f) \leq \text{ kleintes (Im } f, \text{Im }g)$$
Wie genau muss ich da jetzt vorgehen, bzw. beweisen? Ist der Beweisvorgang wie bei a) oder muss ich noch was ändern?
