\( \{0\} \stackrel{f_{0}}{\longrightarrow} V_{1} \stackrel{f_{1}}{\longrightarrow} V_{2} \stackrel{f_{2}}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} V_{n} \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow}\{0\} \)
so dass gilt \( f_{i+1} \circ f_{i}=0 \) für alle \( 0 \leq i<n \). Für jedes \( 1 \leq i \leq n \) setzen wir:
\( H^{i}:=\operatorname{Kern}\left(f_{i}\right) / \operatorname{Bild}\left(f_{i-1}\right) \)
Zeige:
\( \sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} H^{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} V_{i} \)
