+2 Daumen
697 Aufrufe

{0}f0V1f1V2f2fn1Vnfn{0} \{0\} \stackrel{f_{0}}{\longrightarrow} V_{1} \stackrel{f_{1}}{\longrightarrow} V_{2} \stackrel{f_{2}}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} V_{n} \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow}\{0\}

so dass gilt fi+1fi=0 f_{i+1} \circ f_{i}=0 für alle 0i<n 0 \leq i<n . Für jedes 1in 1 \leq i \leq n setzen wir:

Hi : =Kern(fi)/Bild(fi1) H^{i}:=\operatorname{Kern}\left(f_{i}\right) / \operatorname{Bild}\left(f_{i-1}\right)

Zeige:

i=1n(1)idimHi=i=1n(1)idimVi \sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} H^{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} V_{i}

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
Es ist dim(HI)=dim(ker(fi))dim(Bild(fi1))dim (H^I)= dim(ker(f_i)) -dim(Bild(f_{i-1})) . Links einsetzen, Rangsatz verwenden, fertig.
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage