{0}⟶f0V1⟶f1V2⟶f2⋯⟶fn−1Vn⟶fn{0} \{0\} \stackrel{f_{0}}{\longrightarrow} V_{1} \stackrel{f_{1}}{\longrightarrow} V_{2} \stackrel{f_{2}}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} V_{n} \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow}\{0\} {0}⟶f0V1⟶f1V2⟶f2⋯⟶fn−1Vn⟶fn{0}
so dass gilt fi+1∘fi=0 f_{i+1} \circ f_{i}=0 fi+1∘fi=0 für alle 0≤i<n 0 \leq i<n 0≤i<n. Für jedes 1≤i≤n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n setzen wir:
Hi : =Kern(fi)/Bild(fi−1) H^{i}:=\operatorname{Kern}\left(f_{i}\right) / \operatorname{Bild}\left(f_{i-1}\right) Hi : =Kern(fi)/Bild(fi−1)
Zeige:
∑i=1n(−1)idimHi=∑i=1n(−1)idimVi \sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} H^{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} V_{i} i=1∑n(−1)idimHi=i=1∑n(−1)idimVi
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