Es sei K ein Körper und V1, . . . , Vn endlich-dimensionale K-VR.Man betrachte eine Folge von lin Abb

Question

$\{0\} \stackrel{f_{0}}{\longrightarrow} V_{1} \stackrel{f_{1}}{\longrightarrow} V_{2} \stackrel{f_{2}}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} V_{n} \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow}\{0\}$

so dass gilt $f_{i+1} \circ f_{i}=0$ für alle $0 \leq i<n$. Für jedes $1 \leq i \leq n$ setzen wir:

$H^{i}:=\operatorname{Kern}\left(f_{i}\right) / \operatorname{Bild}\left(f_{i-1}\right)$

Zeige:

$\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} H^{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} V_{i}$

Answer 1

Es ist $dim (H^I)= dim(ker(f_i)) -dim(Bild(f_{i-1}))$. Links einsetzen, Rangsatz verwenden, fertig.