Rang folgender Matrix bestimmen >>Mat3×3(Fp)<< ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)), p=2,3,5

Question

Wie kann man den Rang dieser Matrix bestimmen:

\( \left(\begin{array}{lll}{[1]} & {[2]} & {[3]} \\ {[4]} & {[5]} & {[6]} \\ {[7]} & {[8]} & {[9]}\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}\left(\mathbb{F}_{p}\right) \), für die Fälle \( p=2,3,5 \)

Ich weiß, wie ich bei Matrizen mit reellen zahlen vorgehen muss. Aber hier habe ich leider keine Ahnung unf hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Comments

Wie wurden hier im Fall p=5 die Umformungen gemacht? Die anderen beiden Fälle sind mir klar nur beim letzten komme ich bei meinem Ergebnis auf Rang 3. Kann mir das vielleicht jemand erklären?

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Der Rang der Matrix ist höchstens 2 unabhängig vom Körper, denn 3.Zeile-1.Zeile=2*(2-Zeile-1.Zeile)

Answer 1

Ich lasse mal die eckigen Klammern weg und rechne mit den Restklassen:

Fall p=2

A=
101
010
101

Zeilenumformung: 3. Zeile minus 1. Zeile

101
010
000

Die 2. Zeile bringe ich nun nicht weg. Der Rang ist daher 2, wenn p=2.

Analog kann man bei den andern Fällen für p rechnen. Das schaffst du bestimmt selbst.
Für p=3 komme ich auf Rang 1.

p=5

A=

123
401
234

Zeilenumformungen

123
024
043

123
024
000

Für p=5 ist der Rang 2. Rechenweg ohne Gewähr. Resultat sollte stimmen, da Det(A) = 5 modulo 5 also 0.

Comments

vielen dank. was ist dieses Fp eigentlich ich verstehe das nicht. und was hat es mit den eckigen klammern auf sich?

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Das Fp steht für den Körper. Du rechnest bei dieser Matrix ja einmal im Körper 2, dann im Körper 3 und zum Schluss im Körper 5.

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Es gibt keinen Körper 2, 3 oder 5. Das sind die Körper mit 2, 3 oder 5 Elementen. Standarddarstellung als restklassenring Z/pZ und von diesen Restklassen kommt auch die Schreibweise mit den eckigen Klammern

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Hast du vielleicht eine Idee zu der Aufgabe mit der Parallelprojektion ?

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Lotus und jd13 haben schon alles gesagt. Danke.

Hintergrund dazu vielleicht noch hier nachlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körper#Zur_historischen_Entwicklung