Wahr/Falsch Fragen zu linearen Abbildungen, Kern und Bild, Vektorräume

Question

ich bereite mich momentan auf eine Klausur vor und kann mir folgende Wahr/Falsch-Fragen nicht erklären, bzw. habe mittlerweile einen kleinen Knoten im Kopf :)

Aufgabe:

1) Ist f:V→V eine lineare Abbildung mit Kern(f)≠{0}, so besitzt f Eigenvektoren.

2) Ist f:V→W linear und ω∈W, so ist f^-1(ω)={v∈V | f(v)=ω} stets ein K-Untervektorraum von V.

3) Der IF₃-Vektorraum IF₃³ besteht genau aus 9 Vektoren.

4) Für die lineare Abbildung f: ℝ³→ℝ³ , (x₁, x₂, x₃) ↦ (x₂, x₁, 0) gilt ℝ³=Kern(f)⊕Bild(f).

Problem/Ansatz:

zu 1) Sei A die Abbildungsmatrix von f, dann müsste doch gelten: Wenn der Kern(A-λE)≠{0} ist, besitzt f Eigenvektoren, oder bringe ich da etwas durcheinander?

zu 3) Die Elemente sind ja 0, 1, 2. Daher müssten doch alle Kombinationen Vektoren des VRs sein, also deutlich mehr als 9 Vektoren oder nicht?

zu 4) wäre nach meinen Überlegungen wahr, da der Schnitt von Bild und Kern nur (0, 0, 0) ist, oder?

Es wäre super nett, wenn jemand die Aussagen beweisen oder widerlegen könnte.

Answer 1

zu 1) Wenn Kern(f) ≠ {0} ist, dann ist f(v) = 0·v für ein v ∈ Kern(f) mit v ≠ 0. Ein solches v ist Eigenvektor von f zum Eigenwert 0.

zu 2) Sei V = W und f(v) = v für alle v ∈ V. Dann ist f^-1(w) = {w} kein Untervektorraum von V wenn w ≠ 0 ist.

zu 3) Es ist

        \(\mathbb{F}_3^3 = \left\{\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}| a,b,c\in \mathbb{F}_3\right\}\).

Es gibt 3 Möglichkeiten für \(a\), 3 Möglichkeiten für \(b\) und 3 Möglichkeiten für \(c\). Insgesamt sind das \(3\cdot 3\cdot 3 = 27\) Möglichkeiten

zu 4) Du hast Recht.

Comments

Danke, die 1) und die 4) habe ich verstanden.

Die 2) verstehe ich noch nicht so ganz, könntest du mir die nochmal erklären?

Und bei der 3) wären doch 3·3·3=27 Möglichkeiten, oder? Das hätte ich auch mit meinen verschiedenen Kombinationen heraus bekommen.

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Die 2) verstehe ich noch nicht so ganz,

Was verstehst du daran nicht?

Und bei der 3) wären doch 3·3·3=27 Möglichkeiten, oder?

Es ist anscheinend zu früh für mich zum Kopfrechnen. Oder zu wochenende.

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zur 3) ist dann alles klar - danke! :)

Ich versuche mal so genau wie möglich zu versuchen, wieso mir die 2) noch unklar ist, aber ich glaube, mir fehlt da noch irgendein generelles Puzzleteil:

Dadurch das f linear ist, dachte ich, dass f^-1 auch abgeschlossen ist unter der Skalarmultiplikation und der Addition. Ich habe auch versucht, mir dein Beispiel zu skizzieren, da sehe ich aber den Hacken nicht: Dadurch dass V ein VR ist, enthält er ja die 0 oder nicht? Und f(0)=0 deiner Antwort nach, also f^-1(0)=0, dann wäre der UVR auch nicht leer, oder?

Sorry für das Durcheinander!

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Sei V = W = ℝ (n.b. ℝ ist ein eindimensionaler ℝ-Vektorraum) und

        f: ℝ → ℝ, x ↦ x    ∀ x ∈ ℝ.

Dann ist f eine lineare Abbildung von V nach W.

Es ist

        f^-1(-7) = {-7}

aber {-7} ist kein Untervektorraum von ℝ, wegen 0 ∉ {-7}.

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Ohhh danke, so macht das jetzt auch in meinem Kopf Sinn! Danke dir für deine Erklärungen und deine Geduld :)