Seien φ:U → V und ψ:V → W lineare Abbildungen zwischen U,V und W über K.

Question

Seien \( \phi: \mathrm{U} \rightarrow \mathrm{V} \) und \( \psi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W} \) lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen U, V, W über einem Körper \( \mathrm{K} \). Zeigen Sie:

(1) Die Hintereinanderausführung \( \phi \psi: \mathrm{U} \rightarrow \) W ist eine lineare Abbildung.

(2) \( \operatorname{Kern}(\psi)=\{\mathrm{v} \in \mathrm{V} \mid \mathrm{v} \psi=0\} \) ist ein Unterraum von \( \mathrm{V} \)

(3) \( \operatorname{Bild}(\psi)=\{\mathrm{v} \psi \mid \mathrm{v} \in \mathrm{V}\} \) ist ein Unterraum von \( \mathrm{W} \)

(4) Aus \( \mathrm{V}=\left\langle\mathrm{v}_{1}, \ldots, v_{r}\right\rangle \) folgt \( \operatorname{Bild}(\psi)=\left\langle\mathrm{v}_{1} \psi_{,} \ldots, v_{r} \psi\right\rangle \)

(5) \( \operatorname{dim} \operatorname{Bild}(\psi) \leq \operatorname{dim} V \)

Answer 1

1)

Sei Θ ( u ) := ψ ( φ ( u ) ) , u ∈ U die Hintereinanderausführung von φ und ψ

Zu zeigen ist: Θ ( a x + y ) =  a Θ ( x ) + Θ ( y ) für alle x , y ∈ U, a ∈ K

Beweis:

Θ ( a x + y ) = ψ ( φ ( a x + y ) )

[φ ist linear:]

= ψ ( a φ ( x ) + φ ( y ) )

[ψ ist linear:]

= ψ ( a φ ( x ) ) + ψ ( φ ( y ) )

[ψ ist linear:]

= a * ψ ( φ ( x ) ) + ψ ( φ ( y ) )

= a * Θ ( x ) + Θ ( y )

q.e.d.

 

2)

a)

Kern ( ψ ) ≠ ∅,

denn der Nullvektor von V ist Element von Kern ( ψ ), da ψ den Nullvektor von V auf 0 abbildet:

ψ ( 0_V ) = ψ ( 0 * 0_V )

[ψ ist linear:]

= 0 * ψ ( 0_V ) = 0

b )

Mit x , y ∈ Kern ( ψ ) ist auch x + y ∈ Kern ( ψ ):

x, y ∈ Kern ( ψ )

=> ψ ( x ) = 0 und ψ ( y ) = 0

[ψ ist linear:]

=> ψ ( x + y ) =  ψ ( x ) + ψ ( y ) = 0 + 0 = 0

=> x + y  ∈ Kern ( ψ )

c )

Mit x ∈ Kern ( ψ ) und a ∈ K ist auch a x ∈ Kern ( ψ ):

x ∈ Kern ( ψ )

=> ψ ( x ) = 0

[ψ ist linear:]

=> ψ ( a x ) =  a ψ ( x ) = a * 0 = 0

=> a x ∈ Kern ( ψ )

a), b), c) => Kern ( ψ ) ist Unterraum von V

q.e.d.

 

3)

a) Bild ( ψ ) ≠ ∅

denn der Nullvektor von W ist Element von Bild ( ψ ) (siehe unter 2a)

b)

Mit x , y ∈ Bild ( ψ ) ist auch x + y ∈ Bild ( ψ ):

x , y ∈ Bild ( ψ )

=> x = ψ ( a ) und y = ψ ( b ) mit a, b ∈ V

=> x + y = ψ ( a ) + ψ ( b ) = ψ ( a + b ) 

=> x + y ∈ Bild ( ψ )

c)

Mit x ∈ Bild ( ψ ) und a ∈ K  ist auch a x ∈ Bild ( ψ ):

x ∈ Bild ( ψ )

=> x = ψ ( v ) , v ∈ V

=> a x = a * ψ ( v ) = ψ (a v )

=> a x ∈ Bild ( ψ )

a),b),c) => Bild ( ψ ) ist Unterraum von V

q.e.d.

 

4)

Sei { v₁, ... v_r } mit v_i ∈ V ein Erzeugendensystem von V, also V = < v₁, ... v_r >

=> ∀ v ∈ V ∃ a_i ∈ K: v = a₁ v₁ + ... + a_r v_r

=> ψ ( v )

= ψ ( a₁ v₁ + ... + a_r v_r )

= ψ ( a₁ v₁ ) + ... + ψ ( a_r v_r )

= a₁ ψ ( v₁ ) + ... + a_r ψ ( v_r )

=> Bild ( ψ ) = < ψ ( v₁ ) ,  ... ,  ψ ( v_r ) >

q.e.d.

 

5) Hier habe ich außer dem Dimensionssatz

dim V = dim Kern ( ψ ) + dim Bild ( ψ )

<=> dim Bild ( ψ ) = dim V - dim Kern ( ψ )

=> dim Bild ( ψ ) ≤ dim V

von dem ich annehme, dass er hier nicht ausreicht, leider keine gute Idee ...

Comments

zu 5.

Dimensionssatz reicht aus da dim Bild = dim V - dim Kern und dim Kern ungleich 0, also ist dim Bild < dim V.

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danke für die ausführliche Antwort. Warum ist   a1 ψ ( v1 ) + ... + ar ψ ( vr )

=> Bild ( ψ ) = < ψ ( v1 ) ,  ... ,  ψ ( vr ) > (der letzte Schritt bei der 4)) ?

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Nun, weil, wie im vorangegangenen Schritt gezeigt, jedes Element von Bild ( ψ ) durch eine Linearkombination der Bilder der Vektoren v_i des Erzeugendensystems von V erzeugt werden kann. Damit erfüllt < ψ ( v1 ) ,  ... ,  ψ ( vr ) > die Definition eines Erzeugendensystems von Bild ( ψ ).