ft(x)= 1/12x^4-t^2/2x^2+x+2. Wendepunkte, Ortskurve,... Parameter t

Question

Für t>0 Ist die Funktion ft gegeben durch : ft (x)= 1/12x^4-t^2/2x^2+x+2 das Schaubild von ft heißt Kt 1. Berechnen sie die exakte koordinaten der Wendepunkte von K1. zeigen sie : die tangente an K1 im Schnittpunkt mit der y-Achse ist parallel zu der geraden durch die wendepunkte. 1.2 Bestimmen sie die ortskurve der Wendepunkt von Kt die links der y-Achse liegen. 1.3 eine parabel 2 grades berührt die Funktion K1 im Punkt S ( 0|2) und schneidet im Punkt P (-3|5/4). berechnen sie den Term der parabel. 1.4bestimmen sie die Bereiche für die Funktion monoton steigend/fallend ist. Untersuchen sie die Funktion ebenfalls auf ihr krummungsverhalte.

Answer 1

Ich habe die Aufgabe unter folgendem Link bearbeitet

https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=15141910165118914292

Kurvenschar: f t (x) = 1/12·x^4 - t^2/2·x^2 + x + 2

Funktion und Ableitungen
f_t (x) = 1/12·x^4 - t^2/2·x^2 + x + 2 mit t > 0
f_t '(x) = 1/3·x^3 - t^2·x + 1
f_t ''(x) = x^2 - t^2

1. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von f t .
f_t ''(x) = x^2 - t^2 = 0
x = ± t
f_t (- t) = - 5/12·t^4 - t + 2
f_t (t) = - 5/12·t^4 + t + 2

2. Zeigen Sie: Die Tangente an f t im Schnittpunkt mit der y-Achse ist parallel zu der
Geraden durch die Wendepunkte.
m = ((- 5/12·t^4 + t + 2) - (- 5/12·t^4 - t + 2)) / ((t) - (- t)) = 1
f_t '(0) = 1

3. Bestimmen sie die Ortskurve der Wendepunkte von f t die links der y-Achse
liegen.
x = - t
t = - x
f_t (x) = 1/12·x^4 - (- x)^2/2·x^2 + x + 2 = - 5/12·x^4 + x + 2

4. Eine Parabel 2. Grades berührt die Funktion f 1 im Punkt S(0 | 2) und schneidet im
Punkt P(-3 | 5/4). Berechnen sie den Term der Parabel.
p(x) = a·x^2 + b·x + c
p(0) = 2 --> c = 2
p'(0) = 1 --> b = 1
p(-3) = 5/4 --> 9·a - 3·b + c = 1.25
Lösung des LGS ist: a = 0.25 ∧ b = 1 ∧ c = 2
p(x) = 0.25·x^2 + x + 2

5. Bestimmen Sie die Bereiche für die Funktion monoton steigend/fallend ist.
Untersuchen sie die Funktion ebenfalls auf ihr Krümmungsverhalten.

Monotonie
f_t '(x) = 1/3·x^3 - t^2·x + 1 > 0

Das ist allgemein etwas schlecht zu zeigen, da wir eine Funktion 3. Grades haben.

f₁ '(x) = 1/3·x^3 - x + 1 > 0
x > - (12 - 4·√5)^{1/3}/2 - (4·√5 + 12)^{1/3}/2 = -2.103803402

Krümmungsverhalten
f_t ''(x) = x^2 - t^2 > 0
x^2 > t^2
x < - t oder x > t