Lineare Abbildungen so angeben , dass dimℝ((f ◦ g)(R3)) < min{dimℝ f(ℝ3), dimℝ g(ℝ3)} gilt.

Question

Geben Sie zwei lineare Abbildungen f, g : ℝ3 → ℝ3 so an, dass dimℝ((f ◦ g)(R3)) < min{dimℝ f(ℝ3), dimℝ g(ℝ3)} gilt.

(Dazu kommt noch Nachweis der Linearität)

Hat jemand tipps oder eine Idee, wie ich am besten vorangehen oder kann mir das erklären ? ... *-*

Answer 1

f bildet ℝ³ auf eine Ebene ab.

g bildet ℝ³ auf eine andere Ebene ab.

Dann bildet f ◦ g ℝ³ auf eine Gerade ab.

Comments

Heey, vielen dank für deine Antwort.

Jedoch verstehe ich das leider immer noch nicht ganz :(

Kannst du mir das vielleicht etwas erläutern oder ein Beispiel nennen?

Liebe Grüße

Sarah

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\(f: \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} \) projiziert auf die \(xy\)-Ebene.

Dimension des Bildes ist also 2.

\(g: \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x\\0\\z \end{pmatrix} \) projiziert auf die \(xz\)-Ebene.

Dimension des Bildes ist also 2.

\(f\circ g: \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x\\0\\0 \end{pmatrix} \) projiziert auf die \(x\)-Achse.

Dimension des Bildes ist also 1.