Wie beweise ich diese Aussage über invertierbare Matrizen?

Question

Ich verzweifle gerade an folgender Aufgabe:

Sei K ein Körper und seien u, v, w ∈ K3. Weiter sei A ∈ M3(K) die Matrix mit Spalten u, v, w.
Beweisen Sie:

∃ B ∈ M3(K) : AB = I3 ⇐⇒ (u, v, w) eine Basis von K3

Wie gehe ich da am besten heran, bzw. stelle einen Beweis zusammen?

brauche dringend Hilfe :(

Answer 1

zu "==>"  Seien  A,B ∈ M₃(K) mit  AB = I₃  und  u,v,w die Spalten von A.

Seien x,y,z ∈ K mit   x*u+y*v+z*w = 0-Vektor

==>                               x                   0
                       A  *         y         =        0
                                     z                   0

Wegen AB=I₃ ist auch BA=I₃

(siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Gruppeneigenschaften   )

also multipliziere von links mit B

                                          x                              0                  0
               B *        A  *         y         =        B *      0         =      0
                                          z                              0                  0

==>  x = y = z = 0 , also u,v,w lin. unabh.

und wegen dim(K^3)=3 also eine Basis.

"<=="   Seien die Spalten von A eine Basis, dann läßt sich jedes

Element von K^3 als Linearkombination der Spalten von A darstellen,

also insbesondere gibt es a,b,c mit

                                                       1
                a*u+b*v+c*w          =      0
                                                       0

Diese a,b,c bilden die erste Zeile von B. Entsprechend bekommst

du auch die anderen beiden.

Comments

vielen Dank für die Antwort, hast mir sehr damit geholfen :)

Liebe Grüße

Sarah