Skalarprodukte, Normen und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Ist V ein K-Vektorraum und ⟨·, ·⟩ : V × V → K ein Skalarprodukt, so ist durch
∥·∥:V→R,  ∥x∥:=√⟨x,x⟩
eine Norm gegeben und es gilt für alle x, y ∈ V die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥.

Problem/Ansatz:

ich kann diese Aufgabe nicht lösen und brauche Hilfe Danke :)

Comments

Technisch musst Du zunächst die CS-Ungleichung beweisen. Dazu braucht es eine Idee, die zwar einfach ist, aber für Studierende vielleicht nicht naheliegend. Jedenfalls würde ich das aus Wikipedia abschreiben - wenn Du nicht selbst eine Idee hast

Dann lässt sich die Dreiecksungleichung leicht nachrechnen. Die anderen Norm-Eigenschaften sind simpel.